23
vs t.
Jika tampilan yang diinginkan adalah ”x
1
vs y
1
” maka plot yang ditampilkan adalah
x
1
vs y
1
. Jika tampilan yang diinginkan adalah ”x
2
vs y
2
” maka plot yang ditampilkan adalah
x
2
vs y
2
. Jika tampilan yang diinginkan adalah ”x
3
vs y
3
” maka plot yang ditampilkan adalah x
3
vs y
3
. Jika tampilan yang diinginkan adalah ”θ
1
vs θ
2
” maka plot yang ditampilkan adalah θ
1
vs θ
2
. Jika tampilan yang diingin kan adalah ”θ
2
vs θ
3
” maka plot yang ditampilkan adalah
θ
2
vs θ
3
. Jika tampilan yang diinginkan adalah ”ruang fasa
m
1
” maka plot yang dihasilkan adalah pada rentang-rentang –π sampai +π, dan memplot titik lintasan
ω
1
t, dan θ
1
t pada t = 0,1,2,3 dan seterusnya, hingga t
max
. Jika tampilan yang diinginkan adalah ”ruang fasa m
2
” maka plot yang dihasilkan adalah pada rentang-rentang
–π sampai +π, dan memplot titik lintasan
ω
2
t, dan θ
2
t pada t = 0,1,2,3 dan seterusnya, hingga t
max
. Dan jika tampil
an yang diinginkan adalah ”ruang fasa m
3
” maka plot yang dihasilkan adalah pada rentang-rentang
–π sampai +π, dan memplot titik lintasan ω
3
t, dan
θ
3
t pada t = 0,1,2,3 dan seterusnya, hingga t
max
.
f. Menganimasikan Visualisasi
Triple Pendulum Hasil visualisasi dianimasikan sesuai dengan penyelesaian persamaan gerak
triple pendulum nonlinier dengan menggunakan fungsi Trigger pada bahasa pemrograman
Mathematica 9. Jika terdapat perbedaan pada keadaan pendulum, maka pendulum hijau, pendulum biru, dan pendulum merah akan
memiliki gerak yang berbeda.
3.2.2 Algoritma Program Bantu
Adapun algoritma program bantu yang digunakan dalam penyelesaian persamaan gerak pendulum adalah sebagai berikut:
INPUT a.
m
1
, m
2
dan m
3
= Massa masing-masing pendulum 1, pendulum 2, dan pendulum 3.
b. g = Percepatan gravitasi bumi.
Universitas Sumatera Utara
24
c. l
1
, l
2
, dan l
3
= Panjang tali masing-masing pendulum 1, pendulum 2, dan pendulum 3.
d. θ
1
, θ
2
, dan θ
3
= Sudut masing-masing pendulum dalam program terdiri dari θ
1
untuk pendulum 1, θ
2
untuk pendulum 2, dan θ
3
untuk pendulum 3. e.
ω
1
, ω
2
, dan ω
3
= Kecepatan sudut masing-masing pendulum dimana ω
1
untuk pendulum 1, ω
2
untuk pendulum 2, dan ω
3
untuk pendulum 3. f.
p = Waktu maksimum terjadinya osilasi pendulum
PROSES a.
Membaca data masukkan berupa, percepatan gravitasi bumi, panjang tali masing-masing pendulum, massa masing-masing pendulum, waktu
maksimum, dan syarat awal persamaan gerak pendulum, θ
1
, θ
2
, θ
3
, ω
1
, ω
2
, dan
ω
3
. b.
Menyelesaikan persamaan gerak triple pendulum nonlinier dengan fungsi
NDSolve. c.
Menentukan komponen tangensial dan radial dari pendulum. d.
Memvisualisasikan triple pendulum dengan fungsi Graphics berdasarkan
komponen tangensial dan radial. e.
Menentukan potongan lintasan pada rentang –π sampai +π sebagai ruang
fasa. f.
Menentukan titik-titik lintasan pada setiap lintasan grafik yang diinginkan. g.
Menganimasikan visualisasi triple pendulum dengan fungsi Trigger.
OUTPUT a.
Hasil ditampilkan dengan menekan tombol Shift + Enter. b.
Menampilkan hasil visualisasi triple pendulum
c. Menganimasikan visualisasi
triple pendulum ganda dengan menekan tombol ”animasi” pada setiap setiap hasil eksekusi
d. Hasil grafik-grafik yang ditampilkan setelah animasi:
1. Memplot hasil penyelesaian yaitu plot
xt vs t, simpangan x. 2.
Memplot hasil penyelesaian yaitu plot yt vs t, simpangan y.
Universitas Sumatera Utara
25
3. Memplot hasil penyelesaian yaitu plot
θt vs t, sensitivitas kondisi awal.
4. Memplot hasil penyelesaian yaitu plot
x
1
vs y
1
5. Memplot hasil penyelesaian yaitu plot
x
2
vs y
2
6. Memplot hasil penyelesaian yaitu plot
x
3
vs y
3
7. Memplot hasil penyelesaian yaitu plot
θ
1
vs θ
2
8. Memplot hasil penyelesaian yaitu plot
θ
2
vs θ
3
9. Memplot
ω
1
t vs θ
1
t ruang fasa m1 10.
Memplot ω
2
t vs θ
2
t ruang fasa m2 11.
Memplot ω
3
t vs θ
3
t ruang fasa m3
Universitas Sumatera Utara
26
BAB 4
HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil eksekusi simulasi pada Lampiran adalah berupa grafik-grafik keluaran dari penyelesaian persamaan gerak
triple pendulum nonlinier yang terintegrasi pada suatu tampilan
GUI seperti yang ditunjukkan pada gambar 4.1. Tampilan grafik pada hasil eksekusi program tersebut dapat diganti dengan mengubah menu
”Tampilan” yang berbentuk Pop Up Menu. Grafik-grafik keluaran tersebut meliputi Grafik Simpangan x plot
xt vs t, grafik simpangan y plot yt vs t, grafik x
1
vs y
1
plot x
1
vs y
1
, grafik sensitivitas terhadap kondisi awalplot θt vs
t, grafik x
2
vs y
2
plot x
2
vs y
2
, grafik x
3
vs y
3
plot x
3
vs y
3
, grafik θ
1
vs θ
2
plot θ
1
vs θ
2
, grafik θ
2
vs θ
3
plot θ
2
vs θ
3
, ruang fasa m
1
plot ω
1
vs θ
1
, ruang fasa m
1
plot ω
2
vs θ
2
, dan ruang fasa m
1
plot ω
3
vs θ
3
. Grafik keluaran ini digunakan untuk menganalisis perilaku sistem
triple pendulum nonlinier, yaitu periodik, kuasiperiodik, atau
chaos. Analisis tersebut diperkuat oleh perbandingan plot posisi terhadap sudut vs waktu yang menunjukkan sensitivitas sistem
terhadap kondisi awal dan menujukkan karakteristik chaos deterministik dalam
sistem, yaitu perubahan yang kecil pada kondisi awal dapat menyebabkan perubahan besar dan tak terprediksi untuk sistem
chaos. Pada gambar 4.1 dapat dilihat bahwa nilai-nilai dari
m
1
, m
2
, m
3
, l
1
, l
2
, l
3
, θ
1
, θ
2
, θ
3
, ω
1
, ω
2
, ω
3
, dan t dapat divariasikan, tetapi dalam analisis gejala chaos nilai
yang dipakai pada subbab 4.1, 4.2, dan 4.3 adalah, m
1
= m
2
= m
3
=1, l
1
= l
2
= l
3
=1, g = 1
,
ω
1
= ω
2
= ω
3
= 0, dan θ
1
= Pi2, dengan memvariasikan nilai θ
2
dan θ
3
. Kemudian, untuk melihat karakteristik sensitivitas terhadap kondisi awal, nilai
θ
1
dapat diubah sedikit sebesar Pi12 rad. Sedangkan hasil ekesekusi program animasi gerak
triple pendulum nonlinier yang ditunjukkan pada gambar 4.1. Hasil eksekusi berupa visualisasi
triple pendulum. Animasi Triple pendulum dapat dianimasikan dengan menggunakan menu ”Animasi”.
Universitas Sumatera Utara
27
Gambar 4.1 Hasil eksekusi program ”Animasi Visualisasi Gerak Triple Pendulum Nonlinier” pada lampiran
4.1 Keadaan Periodik
