50
Pada metode elemen hingga, terdapat persamaan dasar untuk menentukan perpindahan perkiraan approximate displacement dengan formula pada persamaan
3.2.1
de y
x N
y x
U
h
, ,
= 3.2.1
Dimana N adalah persamaan bentuk elemen dengan persamaan berupa matriks:
=
3 2
1 3
2 1
N N
N N
N N
N node1
node2 node3
3.2.2 Sedangkan nilai de adalah vector perpindahan noda dengan susunan matriks sebagai
berikut:
=
3 3
2 2
1 1
v u
v u
v u
de node1
node2 node3
3.2.3 Sehingga persamaan 3.2.1 dapat dituliskan sebagai berikut:
3 3
2 2
1 1
3 3
2 2
1 1
, ,
, ,
, ,
, ,
v y
x N
v y
x N
v y
x N
y x
v u
y x
N u
y x
N u
y x
N y
x u
h h
+ +
= +
+ =
3.2.4
3.2.1 Pembentukan Persamaan Bentuk Elemen Segitiga
Cara pembentukan matriks persamaan bentuk untuk elemen segitiga dimulai dengan menentukan koordinat luas untuk elemen segitiga dan membaginya menjadi tiga
luasan A
1
, A
2
, A
3
seperti pada Gambar 3.4 dan dari ketiga luasan tersebut dibuat perbandingan dari bagian-bagian segitiga tersebut dengan luas total segitiga, sehingga
terdapat 3 luasan yang dibandingkan dengan luasan total segitiga L
1,
L
2
, L
3
Universitas Sumatera Utara
51
Gambar 3.4 Koordinat area
[ ]
y x
x x
y y
y x
y x
y x
y x
y x
A
2 3
3 2
2 3
3 2
3 3
2 2
1
2 1
1 1
1 2
1 −
+ −
+ −
= =
3.2.1.1 Sehingga nilai perbandingan A
1
dengan Luas total dinyatakan sebagai berikut:
e
A A
L
1 1
=
3.2.1.2 Begitu juga dengan nilai A
2
dan nilai A
3
dengan nilai sebagai berikut:
[ ]
y x
x x
y y
y x
y x
y x
y x
y x
A
3 1
1 3
3 1
1 3
1 1
3 3
2
2 1
1 1
1 2
1 −
+ −
+ −
= =
3.2.1.3
[ ]
y x
x x
y y
y x
y x
y x
y x
y x
A
1 2
2 1
1 2
2 1
2 2
1 1
1
2 1
1 1
1 2
1 −
+ −
+ −
= =
3.2.1.4 Dengan nilai L
2
dan L
3
sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
52
e
A A
L
2 2
=
3.2.1.5
e
A A
L
3 3
=
3.2.1.6 Dan ketiga nilai tersebut harus memenuhi:
1
3 2
1 3
2 1
= +
+ =
+ +
e e
e
A A
A A
A A
L L
L
3.2.1.7 Dan ketiga nilai L
1
,
L
2
, L
3,
merupakan nilai untuk persamaan bentuk yaitu: N
1
= L
1
, N
2
= L
2
, N
3
= L
3
3.2.1.8
3.2.2 Matriks Regangan
Langkah kedua setelah kita mendapatkan persamaan matriks bentuk dari elemen segitiga maka selanjunya kita menentukan matriks regangan yang nantinya akan
digunakan untuk menentukan persamaan matriks kekakuan. Pada elemen segitiga 2 dimensi, komponen tegangan utama berupa
{ }
xy yy
xx T
σ σ
σ σ =
untuk benda 2D dan regangan utama pada benda 2 dimensi solid berupa
{ }
xy yy
xx T
ε ε
ε ε =
, sehingga dengan tengangan dan regangan sumbu tersebut, dituliskan persamaan:
y v
x u
y v
x u
xx yy
xx
δ δ
δ δ
ε δ
δ ε
δ δ
ε
+ =
= =
3.2.2.1
Universitas Sumatera Utara
53
Dan jika dibentuk dalam bentuk matriks, didapat persamaan: LU
= ε
3.2.2.2 Dimana L didapat dari persamaan 3.2.2.1 dan dituliskan dalam persamaan matriks
yaitu:
= x
y y
x L
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
3.2.2.3 Dengan mensubstitusikan persamaan 3.2.1 dengan persamaan 3.2.2.2 didapat:
Bde LNde
LU =
= =
ε 3.2.2.4
Nilai B pada persamaan 3.2.2.4 merupakan matriks regangan yang akan dicari dimana:
N x
y y
x LN
B
= =
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
3.2.2.5 Dengan mensubstitusikan persamaan bentuk elemen segitiga pada persamaan 3.2.2 ,
3.2.1.8 dengan persamaan 3.2.2.5 maka akan didapat:
=
3 3
2 2
1 1
3 2
1 3
2 1
a b
a b
a b
b b
b a
a a
B
3.2.2.6
Universitas Sumatera Utara
54
Dengan nilai:
e
A y
x y
x a
2
2 3
3 2
1
− =
,
e
A y
x y
x a
2
3 1
1 3
2
− =
,
e
A y
x y
x a
2
1 1
2 1
3
− =
3.2.2.7
e
A y
y b
2
3 2
1
− =
,
e
A y
y b
2
1 3
1
− =
,
e
A y
y b
2
2 1
1
− =
3.2.2.8
3.2.3 Elemen Matriks
