Pembentukan Persamaan Bentuk Elemen Segiempat Matriks Regangan Elemen Segiempat Elemen Matriks

57

3.3.1 Pembentukan Persamaan Bentuk Elemen Segiempat

Diasumsikan sebuah objek dengan domain segiempat seperti pada Gambar 3.5 kemudian, objek tersebut dibagi menjadi elemen segiempat kecil mesh, dimana tiap elemen segiempat terdapat empat noda dengan 2 DOF Degree of Freedom Gambar 3.5 Domain segiempat dipotong menjadi elemen segiempat Sama dengan persamaan elemen segitiga sebelumnya, persamaan vector perpindahan pada elemen segitiga juga berlaku untuk elemen segiempat dimana: de y x N y x U h , , = 3.2.1 Dengan perpindahan tiap noda berupa:                           = 4 4 3 3 2 2 1 1 v u v u v u v u de node1 node2 node3 node4 3.3.1.1 Namun pada elemen segiempat, terdapat dua jenis koordinat yg akan digunakan dalam menyelesaikan persamaan fungsi bentuk elemen, yaitu koordinat natural η ζ , dan Universitas Sumatera Utara 58 koordinat lokal elemen x,y seperti pada Gambar 3.6dengan hubungan antara koordinat lokal dan koordinat natural adalah sebagai berikut: a x = ζ , b y = η 3.3.1.2 Gambar 3.6 Koordinat elemen segiempat a Koordinat lokal elemen, b koordinat natural elemen Maka persamaan matriks untuk fungsi bentuk elemen segiempat dapat dituliskan sebagai berikut:       = 4 3 2 1 4 3 2 1 N N N N N N N N N Node1 Node2 Node3 Node4 3.3.1.3 Dengan nilai N i i= 1, 2, 3, 4 dapat diperoleh dengan cara yang sama untuk elemen segitiga sehingga didapat: Universitas Sumatera Utara 59 η ζ η ζ η ζ η ζ + − = + + = − + = − − = 1 1 4 1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 1 4 1 4 3 2 1 N N N N 3.3.1.4

3.3.2 Matriks Regangan Elemen Segiempat

Dengan cara yang sama untuk Elemen segitiga, matriks regangan didapat dengan persamaan sebelumnya B=LN sehingga didapat:                 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − a b a b a b a b b b b b a a a a η ζ η ζ η ζ η ζ ζ ζ ζ ζ η η η η 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3.3.2.1 Terlihat bahwa matriks regangan untuk elemen segiempat memiliki nilai yang tidak konstan seperti elemen segitiga.

3.3.3 Elemen Matriks

Setelah mendapatkan nilai matriks regangan, sama seperti prosedur sebelumnya, nilai matriks kekakuan didapat dengan persamaan berikut: ∫ ∫ ∫ + − + − = = 1 1 1 1 η ζd cBd abhB cBdA hB ke T A T 3.3.2.2 Untuk matriks massa,diperoleh dengan cara yang sama sehingga dihasilkan persamaan: Universitas Sumatera Utara 60       +       + = j j i ij hab m η η ζ ζ ρ 1 3 1 1 3 1 1 4 3.3.2.3 Sebagai contoh, 9 4 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 4 33 hab hab m ρ ρ =       +       + = 3.3.2.4 Sehingga didapat matriks massa sebagai berikut:                           = 4 2 1 2 4 2 1 2 2 4 2 1 2 4 2 1 1 2 4 2 1 2 4 2 2 1 2 4 2 1 2 4 9 hab me ρ 3.3.2.5 Dan persamaan matriks gaya yang bekerja pada objek didapat dengan menggunakan persamaan sebagai berikut: Universitas Sumatera Utara 61                           = fy fy fx fx b fe 3.3.2.6

3.4 Elemen Cangkang Shell Element