57
3.3.1 Pembentukan Persamaan Bentuk Elemen Segiempat
Diasumsikan sebuah objek dengan domain segiempat seperti pada Gambar 3.5 kemudian, objek tersebut dibagi menjadi elemen segiempat kecil mesh, dimana tiap
elemen segiempat terdapat empat noda dengan 2 DOF Degree of Freedom
Gambar 3.5 Domain segiempat dipotong menjadi elemen segiempat Sama dengan persamaan elemen segitiga sebelumnya, persamaan vector perpindahan
pada elemen segitiga juga berlaku untuk elemen segiempat dimana:
de y
x N
y x
U
h
, ,
= 3.2.1
Dengan perpindahan tiap noda berupa:
=
4 4
3 3
2 2
1 1
v u
v u
v u
v u
de node1
node2 node3
node4
3.3.1.1 Namun pada elemen segiempat, terdapat dua jenis koordinat yg akan digunakan dalam
menyelesaikan persamaan fungsi bentuk elemen, yaitu koordinat natural
η ζ
, dan
Universitas Sumatera Utara
58
koordinat lokal elemen x,y seperti pada Gambar 3.6dengan hubungan antara koordinat lokal dan koordinat natural adalah sebagai berikut:
a x
= ζ
, b
y =
η
3.3.1.2
Gambar 3.6 Koordinat elemen segiempat a Koordinat lokal elemen, b koordinat natural elemen
Maka persamaan matriks untuk fungsi bentuk elemen segiempat dapat dituliskan sebagai berikut:
=
4 3
2 1
4 3
2 1
N N
N N
N N
N N
N Node1
Node2 Node3
Node4
3.3.1.3 Dengan nilai N
i
i= 1, 2, 3, 4 dapat diperoleh dengan cara yang sama untuk elemen segitiga sehingga didapat:
Universitas Sumatera Utara
59
η ζ
η ζ
η ζ
η ζ
+ −
= +
+ =
− +
= −
− =
1 1
4 1
1 1
4 1
1 1
4 1
1 1
4 1
4 3
2 1
N N
N N
3.3.1.4
3.3.2 Matriks Regangan Elemen Segiempat
Dengan cara yang sama untuk Elemen segitiga, matriks regangan didapat dengan persamaan sebelumnya B=LN sehingga didapat:
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
a b
a b
a b
a b
b b
b b
a a
a a
η ζ
η ζ
η ζ
η ζ
ζ ζ
ζ ζ
η η
η η
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
3.3.2.1 Terlihat bahwa matriks regangan untuk elemen segiempat memiliki nilai yang tidak
konstan seperti elemen segitiga.
3.3.3 Elemen Matriks
Setelah mendapatkan nilai matriks regangan, sama seperti prosedur sebelumnya, nilai matriks kekakuan didapat dengan persamaan berikut:
∫ ∫ ∫
+ −
+ −
= =
1 1
1 1
η ζd
cBd abhB
cBdA hB
ke
T A
T
3.3.2.2 Untuk matriks massa,diperoleh dengan cara yang sama sehingga dihasilkan persamaan:
Universitas Sumatera Utara
60
+
+ =
j j
i ij
hab m
η η
ζ ζ
ρ
1
3 1
1 3
1 1
4
3.3.2.3 Sebagai contoh,
9 4
1 1
3 1
1 1
1 3
1 1
4
33
hab hab
m
ρ ρ
=
+
+ =
3.3.2.4 Sehingga didapat matriks massa sebagai berikut:
=
4 2
1 2
4 2
1 2
2 4
2 1
2 4
2 1
1 2
4 2
1 2
4 2
2 1
2 4
2 1
2 4
9 hab
me ρ
3.3.2.5 Dan persamaan matriks gaya yang bekerja pada objek didapat dengan menggunakan
persamaan sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
61
= fy
fy fx
fx b
fe
3.3.2.6
3.4 Elemen Cangkang Shell Element