Matematika 3 untuk SMPMTs Kelas IX
138
Kata Kunci
Pada bab ini, kamu akan menemukan istilah-istilah berikut. •
barisan aritmetika •
suku ke-n •
barisan geometri •
jumlah n suku pertama •
deret
Peta Konsep
Barisan dan Deret Bilangan
membahas
Pengertian
1. Menentukan panjang lintasan. 2. Menghitung bunga bank.
Barisan Deret
terdiri atas
manfaat
Geometri U
n
= a + n – 1b U
n
= ar
n – 1
terdiri atas
Geometri
S
n
= r
r
n
– –
1 1
jumlah n
suku pertama rumus suku ke-n
rumus suku ke-n
Aritmetika Pengertian
Aritmetika
S
n
= 2
n a + U
n
Barisan dan Deret Bilangan
139
Uji Prasyarat
U j i P r a s y a r a t M a t e m a t i k a
A. Pola Bilangan
Kamu tentu sering melihat benda-benda yang membentuk suatu keteraturan dalam
keseharianmu. Coba kamu perhatikan pakaian batik. Kamu dapat melihat adanya
pengulangan gambar batik secara teratur. Keteraturan seperti itu dapat pula kamu
temukan dalam matematika. Misalnya, keteraturan dalam bilangan dan keteraturan
dalam geometri, seperti yang dapat kamu temukan pada kegiatan berikut.
Tujuan:
Menemukan pola bilangan pada lingkaran.
Kegiatan:
1. Lukislah sebuah lingkaran pada buku latihanmu. Kemudian,
tentukanlah dua titik pada lingkaran tersebut. 2.
Hubungkanlah kedua titik tersebut sehingga didapat sebuah tali busur.
3. Ulangi langkah-langkah pada Kegiatan 1 dan Kegiatan 2 untuk
tiga titik pada lingkaran. Kamu menemukan bahwa kamu dapat membuat tiga tali busur apabila diberikan tiga titik pada lingkaran.
Sebelum membahas materi barisan dan deret bilangan, terkalah tiga bilangan berikutnya dari urutan bilangan berikut.
1. 3, 6, 9, 12, 15, 18, ...
2. 25, 19, 13, 7, 1, –5, ...
3. 5, 10, 15, 20, 25, ...
4. 3a, 5a, 7a, 9a, ...
5. 3b – 2c, 4b – c, 5b, 6b + c, ...
Sumber:
www.mvsarongs.com
Gambar 5.1
Motif yang terdapat pada batik merupakan contoh keteraturan.
Eksplorasi 5.1
Matematika 3 untuk SMPMTs Kelas IX
140
4. Lakukan hal yang sama untuk empat titik dan lima titik. Kemudian, lengkapilah tabel
berikut pada buku latihanmu.
Pertanyaan:
1. Apakah kamu menemukan keteraturan yang terdapat pada banyaknya tali busur yang
terbentuk? Seperti apakah bentuk keteraturan tersebut? 2.
Apakah kamu dapat menerka banyaknya tali busur yang terbentuk apabila terdapat tujuh titik pada lingkaran?
Setelah melakukan kegiatan tersebut, kamu akan menemukan bahwa terdapat keteraturan pada banyaknya tali busur yang terbentuk pada sebuah lingkaran. Keteraturan
tersebut merupakan contoh keteraturan pada susunan bilangan dan dinamakan pola bilangan .
Pola bilangan dapat diartikan sebagai susunan bilangan yang memiliki keteraturan.
Dalam matematika, dikenal beberapa jenis pola bilangan, antara lain sebagai berikut.
1. Pola Bilangan Ganjil
Misalnya, kamu membuat susunan berikut dengan menggunakan batang lidi.
Coba kamu hitung banyaknya batang lidi yang diperlukan untuk membuat setiap bentuk tadi. Ternyata, kamu memerlukan 1, 3, 5, dan 7 batang lidi untuk membuat setiap bentuk
tersebut. Bilangan-bilangan 1, 3, 5, dan 7 merupakan bilangan-bilangan ganjil. Dengan demikian, pola bilangan ganjil dapat kamu tuliskan sebagai 1, 3, 5, 7, 9, ...
Tabel 5.1
Banyak Titik pada Lingkaran Banyak Tali Busur yang Dapat Terbentuk
2 1
3 3
4 . . . .
5 . . . .
Barisan dan Deret Bilangan
141
Berdasarkan tabel tersebut, kamu dapat mencari urutan ke-n dari suatu pola bilangan ganjil, yaitu 2n – 1.
Urutan bilangan ke-n dari suatu pola bilangan ganjil adalah 2n – 1 dengan n bilangan asli.
Sekarang, dapatkah kamu mencari jumlah dari suatu pola bilangan ganjil? Jumlah dari suatu pola bilangan ganjil dapat kamu hubungkan dengan luas persegi yang
bersesuaian dengan urutan bilangan ganjil tersebut. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut.
Urutan
1
Gambar Banyak Lidi
Cara Memperoleh
1 1 = 2
× 1 – 1
2 3
3 = 2 × 2 – 1
3 5
5 = 2 × 3 – 1
4 7
7 = 2 × 4 – 1
n 2n – 1
2n – 1 = 2 × n – 1
Tabel 5.2
1 persegi 3 persegi
5 persegi 7 persegi
9 persegi
Bagaimanakah rumus urutan ke-n dari suatu pola bilangan ganjil? Perhatikan tabel berikut.
Matematika 3 untuk SMPMTs Kelas IX
142
Pada gambar tersebut, terlihat bahwa terdapat pola persegi yang diarsir dan persegi yang tidak diarsir. Coba kamu hitung banyaknya persegi sesuai dengan urutan panah yang
diberikan. Ternyata, pola-pola persegi tersebut merupakan pola bilangan ganjil, yaitu 1, 3, 5, 7, dan 9. Kemudian, hubungkan antara jumlah suatu pola bilangan ganjil dan
luas persegi yang bersesuaian seperti pada tabel berikut.
1 3
5 7 9...
suku 2
+ + + +
=
n
n
Tabel 5.3
Banyaknya Bilangan
n
1
Pola Bilangan
Pola Persegi Jumlah
Bilangan
2
3
4
Sisi Persegi
Luas Persegi
5 1
1, 3
1, 3, 5
1, 3, 5, 7
1, 3, 5, 7, 9 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
1 2
3
4
5 1
× 1 = 1 2
× 2 = 4
3 × 3 = 9
4 × 4 = 16
5 × 5 = 25
dengan n bilangan asli.
Pada tabel tersebut, terlihat bahwa terdapat hubungan antara jumlah suatu pola bilangan ganjil dan luas persegi yang bersesuaian dengan pola bilangan tersebut. Dengan
demikian, jumlah dari n bilangan ganjil pertama adalah n
2
. Dapat pula dituliskan sebagai berikut.
Barisan dan Deret Bilangan
143
Contoh Soal 5.1
1. Tentukanlah jumlah dari 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19.
2. Hitunglah jumlah dari 15 bilangan ganjil yang pertama.
Penyelesaian : 1.
Perhatikan bahwa 1 3 5 7
9 11 13 15 17 19
10 suku
+ + + + + +
+ +
+ merupakan sepuluh
bilangan ganjil yang pertama. Jadi, n = 10. Dengan demikian,
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
10 100
10 2
2
+ + + + + +
+ +
+ =
= =
suku
n 2.
Jumlah dari 15 bilangan ganjil yang pertama adalah 15
2
= 225.
1. Perhatikan pola gambar berikut.
a. Buatlah gambar ke-5 dan ke-6 berdasarkan pola tersebut.
b. Berdasarkan gambar tersebut, buatlah pola bilangannya.
c. Tulislah aturan untuk menjelaskan pola bilangan tersebut.
d. Tentukan jumlah bilangan tersebut.
2. Tentukan tiga suku berikutnya dari pola bilangan 15, 17, 19, 21, 23, ...
3. Berapakah nilai n dari pola bilangan 27, 29, 31, n, 35?
4. Tentukan jumlah dari 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17.
5. Tentukan jumlah dari 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 +21 + 23.
Latihan 5.1
Matematika 3 untuk SMPMTs Kelas IX
144
2. Pola Bilangan Genap
Perhatikan urutan gambar berikut.
• •
•
• •
• •
• •
• •
• •
• •
•
• •
Banyaknya noktah pada gambar tersebut berturut-turut adalah 2, 4, 6, dan 8. Kamu tentu telah mengenal bilangan-bilangan 2, 4, 6, dan 8 sebagai bilangan genap. Jadi,
gambar tersebut merupakan contoh gambar yang menunjukkan pola bilangan genap. Bagaimanakah rumus urutan ke-n dari suatu pola bilangan genap? Coba kamu
perhatikan tabel berikut.
Tabel 5.4
Urutan
1
Gambar Banyak Noktah
Cara Memperoleh
2 2 = 2
× 1
2 4
4 = 2 × 2
3 6
6 = 2 × 3
4 8
8 = 2 × 4
n 2n
2n = 2 × n
• •
• •
•
• •
• •
• •
• •
•
• •
• •
• •
• •
Barisan dan Deret Bilangan
145
Berdasarkan tabel tersebut, kamu dapat mencari urutan ke-n dari suatu pola bilangan genap, yaitu 2n.
Urutan bilangan ke-n dari suatu pola bilangan genap adalah 2n dengan n bilangan asli.
Jumlah dari suatu pola bilangan genap dapat kamu cari dengan menghubungkannya dengan luas persegi panjang.
Perhatikan gambar di samping. Gambar tersebut menunjukkan pola
persegi panjang yang diarsir dan yang tidak diarsir. Apabila kamu hitung
maka kamu akan menemukan bahwa pola persegi panjang tersebut akan
membentuk pola bilangan genap, yaitu 2, 4, 6, dan 8. Adapun cara untuk
menghitung jumlah suatu pola bilangan genap dapat kamu lihat pada
tabel berikut.
Tabel 5.5
2 4 6 8 1
+ + + + =
+ ...
n suku
n n
dengan n bilangan asli. 2 persegi
4 persegi 6 persegi
8 persegi
Banyaknya Bilangan
n Pola
Bilangan Pola
Persegi Panjang Luas
Persegi Panjang
Ukuran Persegi Panjang Lebar
Panjang Jumlah
Bilangan
1 2
2 1
2 1
× 2 = 2 2
2, 4 2 + 4 = 6
2 3
2 × 3 = 6
3 2, 4, 6
2 + 4 3
4 3
× 4 = 12 + 6 = 12
4 2, 4, 6, 8
2 + 4 4
5 4
× 5 = 20 + 6 + 8 = 20
Pada tabel tersebut, kamu dapat melihat hubungan antara jumlah suatu pola bilangan genap dan luas persegi panjang yang bersesuaian. Kamu peroleh bahwa jumlah dari n bilangan genap
pertama adalah nn + 1. Dapat pula kamu tuliskan dalam bentuk berikut.
Matematika 3 untuk SMPMTs Kelas IX
146
Contoh Soal 5.2
1. Hitunglah
2 4
6 8
...
50 suku
+ + + +
2. Tentukan jumlah sembilan bilangan genap yang pertama.
Penyelesaian : 1.
Oleh karena terdapat 50 suku bilangan genap pertama yang harus dihitung maka n = 50.
Dengan demikian, 2
4 6 8 ...
50 suku
+ + + + = 5050 + 1 = 50
× 51 = 2550. 2.
Jumlah dari sembilan bilangan genap yang pertama adalah 99 + 1 = 9 × 10 = 90.
1. Tentukan tiga suku berikutnya dari pola bilangan 4, 6, 8, ....
2. Tentukan tiga suku berikutnya dari pola bilangan 24, 26, 28, 30, 32,....
3. Hitunglah hasil dari 2 + 4 + 6 + ... + 32
4. Tentukan jumlah dari 25 bilangan genap yang pertama.
5. Tentukan banyaknya suku bilangan genap yang pertama jika jumlah suku-suku
tersebut 156.
3. Pola Bilangan Segitiga
Misalnya, seorang pembuat batu bata menyusun batu bata yang telah dibuatnya seperti berikut.
Batu bata yang disusun pada gambar tersebut berturut-turut adalah 1, 3, 6, dan 10. Apabila kamu perhatikan, pola penyusunan batu bata tersebut akan menyerupai segitiga. Oleh karena
itu, pola bilangan yang bersesuaian dengan pola gambar tersebut dinamakan pola bilangan segitiga.
Latihan 5.2
