Matematika 3 untuk SMPMTs Kelas IX
116
Kata Kunci
Pada bab ini, kamu akan menemukan istilah-istilah berikut. •
pangkat •
bilangan pokok •
akar •
merasionalkan bentuk akar
Peta Konsep
Pangkat dan Akar
membahas
Pengertian Pengertian
1. Menentukan kecepatan jatuh bebas
2. Menentukan besaran tabungan 3. Menentukan umur fosil
Pangkat Akar
1. a
m
× a
n
= a
m + n
2.
a a
m n
= a
m – n
3. a
m n
= a
m × n
4. a × b
m
= a
m
× b
m
5.
a b
a a
m m
m
⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟
=
1. ab a
b
n n
n
= ×
2.
a b
a b
n n
n
= terdiri atas
terdiri atas sifat-sifat bilangan
berpangkat bulat positif
Pangkat Nol Pangkat Bulat Negatif
a = 1
a
–m
=
1 a
m
digunakan untuk memahami
Bilangan Berpangkat
Pecahan
digunakan untuk memahami
manfaat
Pangkat dan Akar
117
Uji Prasyarat
U j i P r a s y a r a t M a t e m a t i k a
A. Pangkat
Di Kelas VII, kamu telah mengenal bentuk akar. Kali ini, kamu akan diingatkan kembali pada materi pangkat dan akar tersebut. Bukalah kembali buku Kelas VII pada
pembahasan bilangan untuk membantumu mengingat materi ini.
1. Pengertian Bilangan Berpangkat
Misalnya, Pak Budi menabung di bank sebesar Rp100.000,00 dengan bunga majemuk 10 per tahun.
Kerjakan soal-soal berikut terlebih dahulu sebelum kamu mempelajari materi pangkat dan akar.
Hitunglah hasil dari operasi berikut. 1.
2
3
× 3
2
2. 2
4
4
3. 16
4. 16129
5. 2
81
5
+
Tahun Besarnya Tabungan dalam ribuan
1. 100 + 10
×
100 = 1001,10 2.
1001,10 + {10
×
1001,10} = 1001,101,10 3.
1001,101,10 + {10
×
1001,101,10} = 1001,101,101,10
Gambar 4.1
Perhitungan tabungan merupakan salah satu penggunaan bentuk akar.
Besarnya tabungan Pak Budi pada tiga tahun pertama diperlihatkan pada tabel berikut.
Sumber: Dokumen Penerbit
Matematika 3 untuk SMPMTs Kelas IX
118
Secara umum, tabungan Pak Budi dalam ribuan pada akhir tahun ke-n dapat dinyatakan sebagai A =
100 1 10 1 10 1 10 1 10
, ,
, ... ,
n faktor
= 1001,10
n
Bentuk ini dinamakan bentuk pangkat . Bentuk a
n
didefinisikan sebagai perkalian berulang a sebanyak n faktor. Secara sederhana, bentuk a
n
dapat ditulis sebagai berikut.
a a
a a
a
n n faktor
= × × × ×
... dengan a disebut bilangan pokok basis dan n disebut pangkat.
2. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat Bulat Positif
Masih ingatkah kamu sifat-sifat bilangan berpangkat bulat positif? Berikut adalah sifat- sifat tersebut.
a. a
m
× a
n
= a
m + n
, dengan a bilangan bulat, m dan n bilangan bulat positif. Bukti:
a a
a a a a a a a
a a a a
a a
m n
m faktor faktor
faktor m n
n m n
× = × × × × × × × × ×
= × × × × =
... ...
...
+
+
b. a
a a
a a
m n
m n
m – n
: =
= , dengan a bilangan bulat, m dan n bilangan bulat positif,
dan m n. Bukti:
a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a
m n
m n
m f n f
m n f m n
aktor aktor
aktor
: =
= × × ×
× × × = × × × ×
= ...
... ...
– –
c. a
m n
= a
m × n
,dengan a bilangan bulat, m dan n bilangan bulat positif. Bukti:
a a
a a
a a a a
a a a a a
a a a a
m n
m m
m m
n faktor m faktor
m faktor m faktor
n faktor
= ×
× × ×
= × × × × × × × × × × × × × × × ...
... ...
... ...
=
×
a
m n
Pangkat dan Akar
119
Contoh Soal 4.1
d. a
× b
m
= a
m
× a
m
Bukti: a b
a b a b
a b ...
a b a a a ... a b b b ... b
a b
m
m m
m faktor m faktor
m faktor
× =
× × ×
× × × × ×
= × × × × × × × × × =
× e.
a b
a b
m m
m
⎛ ⎝
⎞ ⎠ =
Bukti:
a b
a b
a b
a b
a b
a a a a
b b b ... b
a a a
m faktor
faktor faktor
⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟
= ⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ ×
⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟
× ⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ × ×
⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟
= × × × ×
× × × × ⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
= × × × ×
... ...
...
m
m m
a ⎛
⎝ ⎜
⎞ ⎠
⎟ × × × ×
⎛ ⎝
⎜ ⎞
⎠ ⎟
= b b b ... b
a b
faktor m
m m
Hitunglah soal-soal berikut dengan dua cara yang telah kamu ketahui. a.
2
3
× 2
5
c. 2
2 3
b. 2
7
: 2
4
Penyelesaian: a.
Cara 1: 2
3
× 2
5
= × × × × × × × = × × × × × × ×
= 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
3 faktor
8
5 faktor 8 faktor
Matematika 3 untuk SMPMTs Kelas IX
120
Cara 2: 2
3
× 2
5
= 2
3 + 5
= 2
8
b. Cara 1:
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2
7 4
7 4
3
: =
= × × × × × ×
× × × = × ×
=
7 ktor 4 faktor
3 faktor fa
Cara 2: 2
7
: 2
4
= 2
7 – 4
= 2
3
c. Cara 1:
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 3
2 2
2
6
= ×
× = × × × × ×
=
3 faktor 6
faktor
Cara 2: 2
2 3
= 2
2 × 3
= 2
6
Hitunglah soal-soal berikut dengan dua cara yang telah kamu ketahui. 1.
4
5
× 4
4
6. –b
7 8
2. 3
7
: 3
4
7. –a
5
b
5 3
3. 8
2 5
8. a
2 3
–2b
5 5
4. 6
× 3
7
9. 5a
3 5
: –5
4
a
3 5
5. 5
12
3
⎛ ⎝
⎞ ⎠
10. 4
3
2 3
6
5
a a b
⎛ ⎝
⎞ ⎠
Latihan 4.1
Pangkat dan Akar
121
3. Pangkat Nol
Berapakah nilai dari a , dengan a bilangan bulat? Coba kamu lakukan kegiatan berikut
untuk mengetahuinya.
Eksplorasi 4.1
Tujuan:
Mengetahui nilai dari a .
Kegiatan:
Hitunglah nilai dari
a a
m m
a ≠ 0 dan m bilangan bulat positif dengan dua cara berikut pada
buku latihanmu. Cara 1
:
a a
a a
m m
...–...
= =
o
Cara 2 :
a a
a a
a ... a
a a
a ... a
a a
... ...
... ...
a a
... ... ... = ....
m m
faktor faktor
= × × ×
× × × ×
× = ×
× ×
= × ×
× ×
m m
m faktor
1 1
Pertanyaan:
Berdasarkan kedua cara tersebut, diperoleh bahwa a = ....
Contoh Soal 4.2
Tentukan hasil dari a.
a × b
5
c. x
y z a x
y z + +
− + 2
2 0
b. 20 x + y x – y
Penyelesaian: a.
a × b
5
= 1 × b
5
= b
5
b. 20 x + y x – y
= 20x + y = 20x + 20y
c. x
y z a x
y z x
y z a
+ + − +
= + +
2 2
2 0
Matematika 3 untuk SMPMTs Kelas IX
122
Kerjakan soal-soal berikut. 1.
23 6.
a b c bc
2 3
2
2. m
7. a
a a b
b b
b b
2 4
3 2
1
× × ×
× × ×
3. 4c
8.
2 3
9 5
3
m m
×
4. 82m
3
n 9.
2 8
5 3
4
a b c ⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
5. 12a
b
2
10.
2 3
2 8
5 7
2
⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟
× ⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ ⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
Latihan 4.2
4. Pangkat Bulat Negatif
Pada pembahasan sebelumnya, kamu hanya mempelajari pangkat bilangan bulat positif beserta sifat-sifatnya. Adakah bilangan berpangkat bulat negatif? Jika ada, apakah makna
dari bilangan bulat negatif? Kamu telah mengetahui bahwa a = 1 dan a
m + n
= a
m
× a
n
, sehingga 1 = a
= a
m + –m
= a
m
× a
–m
Jadi,
a a
m m
−
= 1
, dengan a bilangan bulat dan m bilangan bulat positif.
Apakah sifat-sifat yang terdapat pada pangkat bilangan positif juga akan berlaku pada pangkat bilangan negatif? Selidikilah bersama temanmu.
Contoh Soal 4.3
Ubahlah bentuk-bentuk pangkat negatif berikut ke dalam bentuk pangkat positif. a.
2
–5
c. 2
3
4
⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟
−
b. 1
2
4 −
Pangkat dan Akar
123
Penyelesaian: a.
2 1
2
5 5
−
=
b.
1 2
2
4 4
−
=
c. 2
3 2
3 1
2 1
3 3
2 3
2
4 4
4 4
4 4
4 4
⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟
= =
⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟
⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟
= =
⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟
− −
−
Ubahlah bentuk-bentuk pangkat negatif berikut ke dalam bentuk pangkat positif. 1. 6
–5
6. 3
5
2
⎛ ⎝
⎞ ⎠
−
2. –0,5
–2
7.
2 12
2
⎛ ⎝
⎞ ⎠
−
3. −
⎛ ⎝
⎞ ⎠
−
5 8
3
8. 0,08
–3
4. –12
–3
9. –0,6
–1
5. –0,1
–1
10.
3 7
7
⎛ ⎝
⎞ ⎠
−
Berilah tanda , =, atau agar pernyataan berikut menjadi benar . 11. 4
3
... 5
2
16. –8
–4
... 6
–3
12. –2
–2
... 2
2
17. –11
... –5
3
13. 10
–4
... –10
–3
18. 2
5
... –0,3
2
14. –0,02
2
...
4 10
1
⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟
−
19.
3 4
2
⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟
−
... –10
–1
15. 0,3
–1
...
− ⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
−
4 7
2
20. 0,07
–2
... –0,7
–3
Latihan 4.3
Matematika 3 untuk SMPMTs Kelas IX
124
B. Akar
Pada bahasan yang lalu, kamu telah mempelajari pengertian pangkat suatu bilangan. Pada bahasan kali ini, kamu akan mempelajari akar suatu bilangan. Masih ingatkah kamu
pengertian akar suatu bilangan?
1. Pengertian Akar suatu Bilangan
Coba kamu perhatikan beberapa bentuk pangkat berikut. •
2
3
= 8 •
3
2
= 9 Pada bentuk 2
3
= 8, dikatakan bahwa 2 adalah akar pangkat 3 dari 8 dan ditulis sebagai 8
2
3
= . Demikian pula bentuk 3
2
= 9, dikatakan bahwa 3 adalah akar pangkat 2 dari 9 dan ditulis 9
3
2
= . Dengan demikian,
Jika a dan b bilangan bulat dan a
n
= b maka a adalah akar pangkat n dari b, ditulis a =
b
n
dan dibaca a adalah akar pangkat n dari b.
Berapakah kuadrat dari 2 dan –2? Kuadrat dari 2 dan –2 adalah 2
2
= 4 dan –2
2
= 4. Sekarang, berapakah nilai dari 4 ? Apakah 2 dan –2? Jawabannya adalah tidak. Mengapa? Karena hanya akar positif , yaitu 2 yang dapat kamu tulis sebagai 4 .
Jadi, 4 = 2 dan 4 ≠ –2. Oleh karena itu,
Jika x
2
= a dan x 0 maka
a
= x.
2. Sifat-Sifat Akar
Seperti halnya bilangan berpangkat, bentuk akar pun memiliki beberapa sifat. Sifat- sifat bentuk akar antara lain sebagai berikut.
a. x
y xy
n n
n
× =
b.
x y
x y
n n
n
=
Contoh Soal 4.4
Sederhanakan bentuk-bentuk akar berikut. a.
50 d.
−24
3
b. 4 75
5
a b e.
a b c d
3 2 2
4
c. 200
2
