Helmy Iskandasyah : Analisis Respon Spektrum Pada Bangunan Yang Menggunakan Yielding Damper Akibat GayaGempa, 2009.
2.4.5.5 Penyelesaian persamaan differensial gerakan.
Sebagaimana disampaikan sebelumnya bahwa respon yang paling penting di dalam persoalan analisis dinamik struktur baik SDOF maupun MDOF adalah
simpangan horisontal tingkat. Dengan diketahuinya simpangan horisontal tingkat, maka gaya geser tingkat dan momen guling struktur dapat dihitung. Pendekatan yang
dipakai pada penyelesaian persamaan differensial suatu permasalahan yang sudah kompleks adalah pendekatan numerik tahap demi tahap step by step.
Selain jenis beban, durasi beban, step integrasi t maka jumlah derajat kebebasan akan bertambah volume pekerjaan. Kombinasi dari durasi beban yang
panjang, step integrasi yang kecil dan derajat kebebasan yang banyak akan menuntut memori komputer yang cukup besar. Banyaknya massa derajat kebebasan juga akan
berakibat pada munculnya banyak pola ragam goyangan mode shapes sebagaimana telah dibahas sebelumnya. Terdapat beberapa cara yang dapat dipakai
untuk menyelesaikan persamaan differensial gerakan yang kesemuanya mempunyai kelebihan dan kekurangannya masing-masing.
2.4.5.6 Metode - Newmark incremental formulation
Metode -Newmark seperti yang telah dibahas sebelumnya dapat dipakai untuk keperluan integrasi persamaan differensial coupled struktur MDOF secara
langsung. Metode -Newmark yang dimaksud misalnya adalah metode yang
berdasar pada incremental method. Sebagaimana dibahas sebelumnya tersebut banyak untuk struktur yang berperilaku linier inelastik ataupun non-linier inelastik,
maka perlu dikembangkan model integrasi yang dapat mensimulasikan perubahan
Helmy Iskandasyah : Analisis Respon Spektrum Pada Bangunan Yang Menggunakan Yielding Damper Akibat GayaGempa, 2009.
kekakuan menurut fungsi dari waktu. Urutan perumusan metode ini selengkapnya telah dibahas sebelumnya.
Pada metode -Newmark, persamaan differensial yang berlaku pada interval yang ditinjau adalah seperti pers. 7.57 dan apabila ditulis kembali adalah,
i i
i
p u
k u
c u
m ∆
= ∆
+ ∆
+ ∆
. ..
Apabila beban dinamik yang dipakai adalah beban gempa maka untuk struktur MDOF pers. 11.3 tersebut adalah,
i b
i i
u M
u K
u C
u M
, ..
. ..
} {
] [
] [
] [
∆ =
∆ +
∆ +
∆ Perlu diingat bahwa pada Metode -Newmark memakai perjanjian notasi
untuk perubahan simpangan y, perubahan kecepatan dan perubahan percepatan y
∆ adalah.
i i
i i
i i
i i
i
u u
u u
y u
u u
u u
− =
∆ −
= ∆
− =
∆
+ +
+ 1
.. ..
. 1
. .
1
, ,
Sedangkan perubahan intensitas pembebanan pada interval yang ditinjau adalah,
p
i
= p
i+1
- p
i
Untuk struktur MDOF akibat beban gempa bumi, maka p
i
= {M}
, 1
, ..
i b
i b
u u
−
+
Untuk memulai integrasi numerik tersebut maka pers. 7.66 ditulis kembali yaitu,
i i
i i
u u
t u
t u
.. .
2 ..
2 1
1 1
β β
β −
∆ −
∆ ∆
= ∆
Helmy Iskandasyah : Analisis Respon Spektrum Pada Bangunan Yang Menggunakan Yielding Damper Akibat GayaGempa, 2009.
yang mana
..
u ∆
1
adalah perubahan percepatan pada langkah ke-i. Sedangkan perubahan kecepatan pada langkah yang sama
.
u ∆
1
menurut pers 7.76 adalah,
i i
i i
u u
t u
t u
.. .
2 .
2 1
1 1
β β
β −
∆ −
∆ ∆
= ∆
Kemudian berdasarkan pers. 7.71 perubahan simpangan dapat dicari dengan persamaan,
u
i
=
k p
i
ˆ ˆ
∆
yang mana,
∆ +
∆ +
=
2
ˆ t
m t
c k
k
β β
γ
i i
i i
i
u b
u a
p p
p
.. .
1
ˆ +
+ −
= ∆
+
Untuk struktur MDOF akibat beban gempa bumi, maka persamaan 11.12 akan menjadi,
i i
i b
i b
i
u b
u a
u u
M p
.. .
, ..
1 ,
..
} {
ˆ +
+ −
= ∆
+
Nilai a dan b pada pers. 11.12 tersebut adalah, a =
, 1
2 2
1 ,
1
−
∆ +
=
+
∆ c
t m
b c
m t
β γ
β β
γ β
Selanjutnya simpangan, kecepatan dan percepatan pada akhir interval adalah, u
i+1
=uy
i
+ u
i 1
. .
1 .
u u
u
i i
∆ +
=
+ 1
.. ..
1 ..
u u
u
i i
∆ +
=
+
Tahapan-tahapan integrasi numerik metode ß-Newmark sebagai berikut:
Helmy Iskandasyah : Analisis Respon Spektrum Pada Bangunan Yang Menggunakan Yielding Damper Akibat GayaGempa, 2009.
1. nilai k, m, dan dt diketahui.
2. Disusun matrix massa [M], matrix redaman [C] dan matrix kekakuan [K].
3. Dihitung nilak k, nilai a dan b.
4. Dihitung nilai
∆p
i
, ∆u
i
, ∆u
i ,
dan ∆u
i.
5. Dihitung simpangan, kecepatan dan percepatan pada akhir interval
u
i+1
=uy
i
+ u
i 1
. .
1 .
u u
u
i i
∆ +
=
+ 1
.. ..
1 ..
u u
u
i i
∆ +
=
+
2.4.6 Persamaan difrensial struktur mdof akibat base motion
Kategori