Sinus, Cosinus, dan Tangens di Semua Kuadran Hubungan Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut di Semua Kuadran

7 O X III -x,-y A Y r -x -y Kuadran II : Pada kuadran II. besar sudut A lebih dari 90 dan kurang dari 180 , atau 90 A 180 Kuadran III: Pada kuadran III. besar sudut A lebih dari 180 dan kurang dari 270 , atau 180 A 270 Kudran IV: Pada kuadran IV. besar sudut A lebih dari 270 dan kurang dari 360 , atau 270 A 360 sin A = - r y , bernilai negatif cos A = - r x , bernilai negatif tan A = x y , bernilai positif sin A = r y , bernilai positif cos A = r x − = r x − , bernlai negatif tan A = x y − = x y − , bernilai negatif sin A = - r y , bernilai negatif cos A = r x , bernilai positif tan A = x y − , bernilai negatif -x y r X II A Y - x,y IV Y A X x,-y x -y r 8

6. Hubungan Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut di Semua Kuadran

Perhatikan gambar berikut. Di kuadran II atau sudut 180 – A, hanya sinus yang positif. Di kuadran III atau sudut 180 + A, hanya tangen yang positif. y r P 3 -x,-y P 1 x,y - x + x - y + P 2 - x,y A y r r x r 360 - A 180 + A 180 - A P 4 x,-y sin 180 – A = r y = sin A cos 180 – A = r x − = -cos A tan 180 – A = x y − = -tan A sin 180 + A = - r y = -sin A cos 180 + A = r x − = -cos A tan 180 + A = x y = tan A 9 Di kuadran IV atau sudut 360 - A, hanya cosinus yang positif. B. Kegiatan Belajar 2 : ATURAN SINUS DAN COSINUS 1. Aturan Sinus Mencari Rumus Sinus Misalkan ∆ ABC sebarang segitiga dengan ∠ CAB = α ; ∠ ABC = β dan ∠ BCA = γ serta panjang BC, AC dan AB berturut-turut adalah a, b dan c. Tarik garis melalui titik C di luar garis AB tegak lurus garis tersebut, misal CD . sin A = AC CD ⇔ CD = AC. sin A ⇔ CD = b sin A ………1 sin B = BC CD ⇔ CD = BC. sin B ⇔ CD = a sin B……….2 Dari 1 dan 2 didapat: b sin A = a sin B ⇔ A a sin = B b sin ……….3 Tarik garis melalui titik B di luar garis AC tegak lurus garis tersebut, misal BE . sin A = AB BE ⇔ BE = AB. sin A ⇔ BE = c sin A…….4 sin C = BC BE ⇔ BE = BC. sin C ⇔ BE = a sin C…….5 Dari 4 dan 5 didapat: D B c A C a b α γ β E sin 360 – A = r y − = -sin A cos 360 – A = r x = cos A tan 360 – A = x y − = -tan A 10 a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cos α b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac cos β c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab cos γ c sinA = a sin C ⇔ A a sin = C c sin …………..6 Dari 3 dan 6 di dapat: A a sin = B b sin = C c sin ⇔ α sin a = β sin b = γ sin c ; disebut juga rumus aturan sinus.

2. Aturan Cosinus Mencari Rumus Cosinus

Misalkan ∆ ABC sebarang segitiga dengan ∠ CAB = α ; ∠ ABC = β dan ∠ BCA = γ serta panjang BC, AC dan AB berturut-turut adalah a, b dan c. Tarik garis melalui titik C di luar garis AB tegak lurus garis tersebut, misal CD . sin A = AC CD ⇔ CD = b.sinA………1 cos A = AC AD ⇔ AD = b. cos A BD = AB – AD = c – b. CosA………2 Pandang ∆ BDC siku-siku di D. Berlaku teorema Phytagoras : BC 2 = BD 2 + CD 2 a 2 = c – b cos A 2 + b sin A 2 = c 2 –2bc cos A + b 2 cos 2 A + b 2 sin 2 A = c 2 –2bc cos A + b 2 cos 2 A + sin 2 A = c 2 –2bc cos A + b 2 1 a 2 = b 2 + c 2 –2bc cos A Dengan cara yang sama, kita akan memperoleh rumus cosinus yang lain yaitu: b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac cos α c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab cos α Buktikanlah rumus tersebut Rumus cosinus : C B c A a b α γ β D α sin a = β sin b = γ sin c 11

1. Penggunaan Aturan Sinus

Aturan sinus sangat bermanfaat untuk menghitung panjang sisi atau besar sudut pada suatu segitiga. Latihan 3 1. Diketahui ∆ ABC dengan AB = 4 cm, ∠ CAB = 30 dan ∠ BCA = 45 . Tentukan panjang BC Penyelesaian Berdasarkan aturan sinus: 30 sin BC = 45 sin AB 2 1 BC = 2 4 2 1 2 1 2 . BC = 4 x 2 1 BC = 2 2 . Jadi, panjang BC adalah 2 2 cm. 2. Diketahui ∆ PQR dengan ∠ PQR = 60 , PQ = 6 4 3 cm dan PR = 4 9 cm. Tentukan besar sudut ∠ PRQ dan ∠ RPQ Penyelesaian Berdasarkan aturan sinus: 60 sin PR = PRQ PQ ∠ sin 3 2 1 4 9 = PRQ ∠ sin 6 4 3 sin ∠ PRQ = 2 1 2 ⇔ ∠ PRQ = 45 . ∠ RPQ =180 -65 +45 = 70 0.

2. Penggunaan Aturan Cosinus

Seperti halnya aturan sinus, aturan cosinus sangat bermanfaat untuk menghitung panjang sisi atau besar sudut pada suatu segitiga. Latihan 4 a. Diketahui ∆ ABC dengan AB = 4 cm dan AC = 2 2 cm, ∠ CAB = 30 . Tentukan panjang BC Penyelesaian C B A 4 cm 30 45 P Q R 4 3 6 cm 60 4 9 cm A B C 4 cm 30 2 2 cm