Dari suatu penelitian terhadap 30 orang responden diperoleh data

37

3.2.3. UKURAN PEMUSATAN DATA

Dalam Statistika terdapat tiga ukuran pemusatan data yang sering dipakai, yaitu mean, median dan modus. Pada bagian awal kita akan berbicara tentang konsep mean, median dan modus untuk data tunggal. Kemudian pembahasan dilanjukan pada suatu cara mencari mean, median dan modus untuk data berkelompok. Data Tunggal MEAN Misalkan dari sebuah sampel berukuran n diperoleh data sebagai berikut : x 1 , x 2 , x 3 , … , x n . Maka mean rataan x disimbolkan dengan x 7 didefinisikan sbb : x 7 = 8 9 ∑ x ; 9 ;8 . 1 Misalnya dari sebelas orang pemain sepak bola diperoleh data tentang tinggi badan dalam cm mereka sebagai berikut : 170, 167, 165, 167, 170, 168, 169, 182, 180, 165, 170 Dalam hal ini n = 11 dan ∑ x = = = 1873, sehingga x 7 = 1873 = 170,27 . Jadi mean tinggi badan mereka adalah 170,27 cm. Misalkan dari n buah data x yang dikumpulkan dari sebuah samplel, hanya terdapat k ≤ n buah data yang berbeda. Misalkan data- data x yang berbeda tersebut adalah x 1 , x 2 , … , x k . Jika untuk setiap i, 1 ≤ i ≤ k, data x i muncul dengan frekuensi f i , maka ∑ = + = = , dan Jumlah nilai G = H = + = G = Sehingga mean x adalah IJ = ∑ K ; I ; L ;M8 ∑ K ; L ;M8 . 2 Sebagai contoh, dari data tentang tinggi badan pemain sepak bola diatas terlihat bahwa data 165, 167, 168, 169, 170, 180, 182, secara berturut-turut muncul dengan frekuensi 2, 2, 1, 1, 3, 1, 1, sehingga diperoleh mean, G̅ = 54 O 50 O 5P O 56 O - 0 O P O P OOOO-OO = P0- = 170,27 38 MEDIAN Median sekelompok data adalah data yang letaknya paling tengah setelah data tersebut diurutkan. Jika banyaknya data genap, maka ada dua data yang paling tengah, sehingga dalam hal ini mediannya adalah mean dua data yang paling tengah tersebut. Misalnya dari contoh diatas setelah data diurutkan diperoleh : 165, 165, 167, 167, 168, 169, 170, 170, 170, 180, 182. Dari data di atas, tampak bahwa data yang paling tengah adalah 169. Jadi median tinggi badan pemain sepak bola tersebut adalah 169 cm. Akan tetapi, jika kita perhatikan delapan pemain terpendek saja, setelah diurutkan , diperoleh data sebagai berikut: 165, 165, 167, 167, 168, 169, 170, 170 Dalam hal ini terdapat dua data yang letaknya paling tengah yaitu 167 dan 168, sehingga median tinggi badan dari delapan pemain sepak bola terpendek adalah 50O5P = 167,5 cm. MODUS Misalkan diberikan sekelompok data dengan syarat semua data tidak muncul dengan frekuensi yang sama. Maka modus mode dari sekelompok data tersebut adalah data yang paling sering muncul. Misalkan dari data tentang tinggi badan pemain sepak bola yang disebutkan diatas, diperoleh modus adalah 170, karena data ini muncul dengan frekuensi terbesar yaitu 3 kali dan data yang lain muncul dengan frekuensi kurang dari tiga. Modus sekelompok data tidak harus tunggal. Sebagai contoh, data berikut mempunyai dua modus bimodus yaitu 5 dan 6, masing- masing muncul dengan frekuensi empat. 4, 5, 6, 3, 5, 4, 5, 6, 7, 8, 5, 6, 7, 6 Data Berkelompok MEAN Jika data disajikan dalam tabel frekuensi data berkelompok, maka seluruh data yang terletak pada satu kelas interval dapat diwakili oleh satu nilai tertentu, biasanya titik tengah interval. Misalkan titik tengah kelas interval ke-i dinyatakan dengan x i dan frekuensi yang bersesuaian dengan kelas interval ke-i dilambangkan dengan f i . Selanjutnya, 39 Formula 2 dapat digunakan untuk menghitung mean data berkelompok. Metode ini dikenal dengan ‘metode cepat’. Contoh 3.1: Diberikan tabel frekuensi berat badan 100 orang sperti berikut ini: Berat kg Titik tengah x i Frekuensi f i f i x i 60 – 62 61 5 305 63 – 65 64 18 1152 66 – 68 67 42 2814 69 – 71 70 27 1890 72 – 74 73 8 584 N = Σ f i = 100 Σ f i x i = 6745 IJ = ∑ K ; I ; L ;8 ∑ K ; L ;8 = QRST 8UU = QR, ST LV Jika A adalah nilai dugaan dari mean x A sembarang bilangan yang sering disebut dengan rata – rata sementara dan simpangan titik tengah interval ke-i dari A dinyatakan dengan d i , maka d i = x i – A. Jika semua kelas interval mempunyai panjang yang sama, katakan c, maka d i = x i – A = c u i dengan u i adalah bilangan bulat. Mean x dapat dihitung dengan formula berikut: G̅ = + X ∑ Y Z [ Z \ ZM] ∑ Y Z \ ZM] _ 3 Perhatikan bahwa X ∑ Y Z [ Z \ ZM] ∑ Y Z \ ZM] adalah mean dari u atau `7. Sehingga 3 ekuivalen dengan G̅ = + _ `7 . Terlihat bahwa, untuk memperoleh mean x, variabel x dinyatakan dikode dalam variabel u dengan rumus tranformasi x = A + cu. Sehingga mencari mean x dengan menggunakan Formula 3 dikenal dengan’ Metode Koding.’ Contoh 3.2: Dengan data seperti pada contoh sebelumnya yaitu mengenai data berat badan 100 orang. Misalkan dugaan mean adalah A = 67. Karena panjang klas interval c = 3, maka penghitungan mean dengan menggunakan formula 3 adalah sbb . Titik tengah x i u i Frekuensi f i f i u i 61 -2 5 -10 64 -1 18 -18 67 42 70 1 27 27 40 73 2 8 16 N = Σ f i = 100 Σ f i u i = 15 G̅ = + X ∑ Y Z [ Z \ ZM] ∑ Y Z \ ZM] _ = 67 + a 4 b 3 = 67,45 2c. MEDIAN Untuk menghitung median dari data yang disajikan dalam tabel frekuensi dapat digunakan formula berikut ini. d e = + f g h ∑ Y ] Y ijkZlm n _ , 4 dimana L 1 = batas bawah kelas dari kelas median kelas yang memuat median N = banyaknya data frekuensi total Σ f 1 = jumlah frekuensi dari kelas-kelas di bawah kelas median f median = frekuensi dari keals median c = ukuran dari interval kelas median Contoh 3.3: Misalkan diberikan data frekuensi dari panjang daun seperti berikut ini: Ukuran panjang mm frekuensi 118 – 126 3 127 – 135 5 136 – 144 9 145 – 153 12 154 – 162 5 163 – 171 4 172 – 180 2 Dari tabel diatas, diketahui bahwa frekuensi total dari data adalah 40 sehingga kelas median adalah kelas yang memuat data ke 20. Jumlah frekuensi dari 3 kelas awal adalah 3 + 5 + 9 = 17, sedangkan jumlah frekuensi dari 4 kelas awal adalah 3 + 5 + 9 + 12 =29, oleh karena itu kelas mediannya adalah kelas keempat yaitu kelas 145 – 153. L 1 = batas bawah kelas dari kelas median = 144,5 N = banyaknya data frekuensi total = 40 Σ f 1 = jumlah frekuensi dari kelas-kelas di bawah kelas median yaitu 3 + 5 + 9 = 17 41 f median = frekuensi dari keals median = 12 c = ukuran dari interval kelas median = 9 . Sehingga, d e = + f g h ∑ Y ] Y ijkZlm n _ = 144,5 +f op h n 9 = 146,8 qq MODUS Untuk menghitung modus dari data yang disajikan dalam tabel frekuensi dapat digunakan formula berikut ini. r `s = + a ] ] O h b _ dengan L 1 = batas bawah kelas dari kelas modus = selisih antara frekuensi dari kelas modus dan frekuensi dari kelas tepat sebelum kelas modus = selisih antara frekuensi dari kelas modus dan frekuensi dari kelas tepat sesudah kelas modus c = ukuran dari interval kelas median Contoh 3.4 Dari contoh data frekuensi panjang daun pada contoh 3.3 diperoleh L 1 = batas bawah kelas dari kelas modus = 144,5 = selisih antara frekuensi dari kelas modus dan frekuensi dari kelas tepat sebelum kelas modus = 12 – 9 = 3 = selisih antara frekuensi dari kelas modus dan frekuensi dari kelas tepat sesudah kelas modus = 12 – 5 = 7 c = ukuran dari interval kelas median = 9 sehingga r `s = + a ] ] O h b _ = 144,5 +a - -O0 b 9 = 147,2 qq TUGAS 3: 1. Tentukan mean , modus, median dari data tunggal berikut ini : a. 20, 24, 30, 26, 30 b. 4, 6, 6, 8, 8, 10

3.2.4. UKURAN KEBERAGAMAN DAN PENYIMPANGAN DATA VARIANS

Misalkan dari sebuah sampel berukuran n diperoleh data x sebagai berikut x 1 , x 2 , x 3 , … , x n . Varians x, disimbolkan dengan s x2 , didefinisikan sebagai berikut s t = ∑ t Z t̅ h m ZM] 42 Misalkan dari n buah data x yang dikumpulkan dari sebuah sample, hanya terdapat k ≤ n buah data yang berbeda. Misalkan data- data x yang berbeda tersebut adalah x 1 , x 2 , … , x k . Jika untuk setiap i, 1 ≤ i ≤ k, data x i muncul dengan frekuensi f i , maka s t = ∑ Y= t Z t̅ h \ ZM] ∑ Y Z \ ZM] Contoh 4.1. Diberikan data berikut : 6, 8, 4, 6, 7, 5 Maka mean dari data tersebut adalah 6, sehingga varians dari data tersebut adalah s t = ∑ t Z t̅ h m ZM] = 55 h O P5 h O u5 h O 55 h O 05 h O 45 h 5 = 4 = 2 Contoh 4.2. Diberikan data berikut : 6, 8, 6, 8, 7,7,7 Maka mean dari data tersebut adalah 7, sehingga varians dari data tersebut adalah s t = ∑ Y= t Z t̅ h \ ZM] ∑ Y Z \ ZM] = 50 h O - 00 h O P0 h O-O = u 5 = 0,67 CATATAN : Varians dari sekolompok data mencerminkan variasi atau keberagaman data tersebut. Makin kecil nilai S 2 maka data dalam kelompok tersebut semakin tidak beragam semakin homogin, bahkan kalau S 2 =0, maka semua data dalam kelompok bernilai sama homogin sempurna. Sebaliknya, makin besar nilai S 2 maka data dalam kelompok semakin beragam. SIMPANGAN BAKU Misalkan dari sebuah sampel berukuran n diperoleh data x sebagai berikut x 1 , x 2 , x 3 , … , x n . Simpangan baku x, disimbolkan dengan s x , didefinisikan sebagai berikut t = v ∑ G = − G̅ = − 1 Misalkan dari n buah data x yang dikumpulkan dari sebuah samplel, hanya terdapat k ≤ n buah data yang berbeda. Misalkan data- data x yang berbeda tersebut adalah x 1 , x 2 , … , x k . Jika untuk setiap i, 1 ≤ i ≤ k, data x i muncul dengan frekuensi f i , maka 43 t = w ∑ Y= t Z t̅ h \ ZM] ∑ Y Z \ ZM] Contoh 4.3: Simpangan baku dari data pada contoh 4.1 adalah s = √2 Simpangan baku dari data pada contoh 4.2 adalah s = √0,67 TUGAS 4 1. Tentukan varians dan simpangan baku dari data – data berikut . a. 4, 5, 8, 5, 6, 3, 8 b. 2, 2, 2, 3, 4, ,4 5, 5, 5

H. APROKSIMASI

1. Tujuan

Setelah mempelajari modul ini, peserta diharapkan dapat : a. Memahami konsep membilang b. Memahami konsep mengukur c. Memahami konsep salah mutlak d. Memahami konsep salah relatif e. Menentukan salah mutlak f. Menentukan salah relatif g. Memahami konsep persentase kesalahan h. Memahami konsep toleransi i. Menentukan persentase kesalahan j. Menentukan toleransi kesalahan k. Menentukan jumlah dan selisih hasil dua pengukuran l. Menentukan hasil kali pengukuran.

2. Uraian Materi

Materi yang akan dibahas pada modul ini meliputi konsep membilang dan mengukur, konsep salah mutlak dan salah relatif, perhitungan salah mutlak dan salah relatif, konsep persentase kesalahan dan toleransi, perhitungan persentase kesalahan dan toleransi.

2.1 KESALAHAN PENGUKURAN

Mungkin Anda sering membilang dan mengukur. Hasil kegiatan membilang berbeda dengan hasil dari kegiatan mengukur. Adapun perbedaannya adalah: hasil membilang merupakan bilangan yang pasti sedang hasil dari mengukur berupa bilangan pembulatan atau pendekatan. Contoh 1 Perhatikan kalimat-kalimat berikut. a. Berapakah banyaknya SMK Negeri di Indonesia? b. Berapakah banyaknya siswa kelas I SMK Negeri I Surabaya pada bulan Januari 2005? c. Berapakah banyaknya kereta api ekonomi jurusan Jakarta Surabaya? Untuk mengetahui hasil dari kegiatan pada Contoh 1a, b, dan c, kita perlu melakukan kegiatan yang disebut membilang. Hasil dari kegiatan itu merupakan bilangan yang pasti eksak. Contoh 2 Perhatikan kalimat-kalimat berikut. a. Berapakah tinggi setiap siswa kelas I SMK Negeri I Surabaya? b. Berapakah berat sebuah apel? c. Berapakah tinggi Monas? 1 d. Berapakah volume suatu gelas? Untuk mengetahui hasil dari kegiatan pada Contoh 2a, b, c, dan d, kita perlu melakukan kegiatan yang disebut mengukur. Hasil pengukuran, tergantung pada alat ukur yang digunakan satuan pada alat ukur, siapa yang melakukan pengukuran, dan bagaimana cara melakukan pengukuran tersebut. Oleh karena itu hasil dari kegiatan pengukuran merupakan bilangan yang tidak pasti pembulatan atau pendekatan atau sering disebut dengan aproksimasi. Pada pengukuran ada 3 macam cara pembulatan, yaitu: • pembulatan ke satuan ukuran terdekat • pembulatan ke banyaknya angka-angka desimal • pembulatan ke banyaknya angka-angka signifikan angka-angka yang berarti. Semua angka adalah signifikan kecuali angka nol yang digunakan untuk menyatakan tempat koma desimal. Contoh 3 513,7kg = 14kg ; dibulatkan ke kilogram terdekat 101,12m = 101,1m ; dibulatkan ke persepuluh meter terdekat 15431m 2 = 15430m 2 ; dibulatkan ke puluhan meter persegi terdekat . Contoh 4 8,47571 = 8,4757 dibulatkan sampai empat tempat desimal = 8,476 dibulatkan sampai tiga tempat desimal = 8,48 dibulatkan sampai dua tempat desimal = 8,5 dibulatkan sampai satu tempat desimal. Contoh 5 31,0 mempunyai 3 angka signifikan 30,5 mempunyai 3 angka signifikan 0,30 mempunyai 2 angka signifikan 0,3011 mempunyai 4 angka signifikan 0,007 mempunyai 1 angka signifikan 0,100 mempunyai 3 angka signifikan Dalam kegiatan mengukur, ada beberapa konsep yang terkait. Konsep itu adalah: satuan pengukuran terkecil, salah mutlak, salah relatif, prosentase kesalahan, ukuran terbesar, ukuran terkecil, dan toleransi. Berikut dibahas pengertian dari masing-masing konsep tersebut beserta contohnya. Definisi 1 Satuan pengukuran terkecil adalah tingkat ketelitian dalam pengukuran.