Operasi Matriks Determinan Matriks

3 rumus determinan untuk matrik berukuran 2 x 2 dan 3 x 3 yang kita gunakan tidak dibahas langsung diterima. Adapun rumus determinan dari matriks 2 x 2 dan 3 x 3 adalah: a Jika       = d c b a A , maka bc ad A − = b Jika           = i h g f e d c b a A , maka bdi afh ceg cdh bfg aei A + + − + + = Rumus determinan pada Bagian b di atas dikenal dengan nama kaidah Sarrus. Suatu matriks persegi yang determinannya nol disebut matriks singular , sedangkan yang determinannya tidak nol disebut matriks non-singular . Contoh 1.3.1 Jika       − = 5 1 4 2 A ,       − − = 3 2 3 2 B ,           = 1 2 1 4 1 12 8 4 C , maka dengan menggunakan rumus determinan diperoleh detA = 14 1 4 5 2 = − − = A detB = 2 3 3 2 = − − − = B detC = [ ] 8 1 8 2 4 4 1 1 12 2 12 1 4 8 1 1 4 − = + + − + + = C Matriks A dan C tersebut, masing-masing merupakan matriks non- singular, sedang B merupakan matriks singular.

2.1.5 Matriks Kofaktor dan Adjoin Matriks

Jika ij a A = adalah matriks persegi, maka minor unsur ij a yang dituliskan dengan ij M adalah determinan dari suatu matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menghilangkan baris ke-i kolom ke-j. Bilangan Mij j i + − 1 disebut kofaktor unsur ij a , dan dituliskan dengan ij C Jika ij a A = berukuran n x n, maka matriks persegi nxn ij C , yaitu               Cnn C C C C C C C C n n n n 2 1 2 22 21 1 12 11 dengan ij C adalah kofaktor unsur ij a dari matriks A, disebut matriks kofaktor

A. Tranpose dari kofaktor A disebut adjoin A, yang dituliskan

dengan adjA. 4 Dengan menggunakan kofaktor unsur dalam suatu matriks, dapat digunakan untuk menentukan determinan matriks tersebut. Berikut merupakan rumus tanpa pembuktian untuk mencari determinan suatu matriks. Jika ij a A = berukuran n x n, maka determinan A dapat ditentukan dengan menggunakan dua rumus berikut. a Ekspansi kofaktor dalam kolom ke- j nj nj j j j j C a C a C a A + + + = 2 2 1 1 b Ekspansi kofaktor baris ke-i in in i i i i C a C a C a A + + + = 2 2 1 1 Contoh 1.4.1 Diberikan           = 1 2 1 4 1 12 8 4 C . Tentukan: a adjoin C b C dengan menggunakan ekspansi baris dan juga kolom Penyelesaian : 7 8 1 1 2 4 1 11 − = − = = M 4 4 1 1 4 12 − = − = = M 1 1 2 1 1 13 − = − = = M , 16 24 8 1 2 12 8 21 − = − = = M 8 12 4 1 1 12 4 22 − = − = = M 8 8 2 1 8 4 23 = − = = M 20 12 32 4 1 12 8 31 = − = = M 16 16 4 12 4 32 = − = = M 4 4 1 8 4 33 = − = = M 7 1 11 1 1 11 − = − = + M C ; 4 4 1 1 12 2 1 12 = − − = − = + M C ; = 13 C -1, 16 21 = C ; 8 22 − = C ; 23 = C , 20 31 = C ; 16 32 − = C ; 4 33 = C a adjA = T ij C =           − − − − 4 1 16 8 4 20 16 7 b Menentukan C dengan ekspansi kofaktor kolom ke-1: 8 20 1 16 7 4 31 31 21 21 11 11 − = + + − = + + = C a C a C a C Menentukan C dengan ekspansi kofaktor baris ke-2: 8 4 8 1 16 33 23 22 22 21 21 − = + − + = + + = C a C a C a C