TEOREMA . Jika TEOREMA . Jika

11 coba cek sendiri . Demikian pula pada contoh 2.4, x H dan x T keduanya merupakan anti derivatif dari x 2 sin . Ternyata 2 1 + = x H x T coba cek sendiri . Jika dua fungsi atau lebih merupakan anti derivatif dari x f , maka fungsi-fungsi itu hanya berbeda konstanta. Pernyataan ini dirumuskan dalam teorema berikut. Bukti Teorema 2.3: Misalkan x G x F x H − = . x G x F x H − = x f x f − = = x H Dengan demikian . c x H = Jadi, c x G x F = − . . c x G x F + = Jika x F adalah fungsi sehingga ] [ x f x F dx d = , maka fungsi dengan bentuk c x F + disebut anti derevatif dari x f dan ditulis dengan Simbol ∫ dibaca “integral” dan x f disebut “integran”. Pernyataan 1 dibaca “integral tak tentu dari fx sama dengan x F ditambah c. Kata “tak tentu” menunjukkan bahwa hasilnya tak tentu banyak fungsi yang mungkin, c disebut konstanta pengintegralan.Untuk menyederhanakan penulisan, seringkali dx “dimasukkan” pada integran. Contoh, ∫ dx . 1 ditulis dengan ∫ dx dan ∫ dx x 2 1 ditulis dengan ∫ 2 x dx . Dengan memperhatikam Contoh 2.1 sampai Contoh 2.4, kita dapat menulis: ∫ + = c x xdx 2 2 4 ∫ + = c x xdx sin cos ∫ + = − c x dx x x 1 1 ∫ + = c x dx x 4 3 4

2.3. TEOREMA . Jika

x F dan x G anti derivatif dari x f , maka c x F x G + = untuk suatu konstanta c. ∫ + = c x F dx x f 12 ∫ + = c x dx x ln 2 1 2 1 ∫ + = c x dx x 2 1 ln 2 1 2 1 ∫ + − = c x dx x 2 cos 2 1 2 sin ∫ + − = c x dx x 2 cos 2 sin Formula pengintegralan “dasar” diberikan pada tabel berikut ini. Tabel 2.1 No Derivatif Anti Derivatif 1 1 ] [ = x dx d ∫ + = c x dx 2 1 ] [ln = x x x dx d ∫ + = c x x dx ln 3 1 , ] 1 [ 1 − ≠ = + + n x n x dx d n n ∫ + + = + c x n dx x n n 1 1 1 4 x x dx d cos ] [sin = ∫ + = c x dx x sin cos 5 x x dx d sin ] cos [ = − ∫ + − = c x dx x cos sin 6 x x e e dx d = ] [ ∫ + = c e dx e x x 7 x tgx dx d 2 cos 1 ] [ = ∫ + = c tgx dx x 2 cos 1 8 x ctgx dx d 2 sin 1 ] [ = − ∫ + − = c ctgx dx x 2 sin 1 Kita ingat kembali bahwa ∫ dx x f berarti anti derivatif dari . x f Dengan kata lain, ∫ dx x f adalah fungsi yang derivatifnya adalah . x f Dengan demikian kita memperoleh hasil Hasil di atas sangat membantu kita dalam membuktikan teorema berikut ini. ∫ = x f dx x f dx d

2.4. TEOREMA .

a Jika c adalah konstanta, maka ∫ ∫ = . . dx x f c dx x f c b ∫ ∫ ∫ + = + dx x g dx x f dx x g x f ] [ 13 Bukti Teorema 2.4: a [ dx d c ∫ ∫ = ]. [ ] dx x f dx d c dx x f = . x f c . Karena derivatifdari ∫ = . x f c dx x f c , itu sama artinya dengan ∫ ∫ = . . dx x f c dx x f c b ∫ ∫ ∫ ∫ + = + ] [ ] [ ] [ dx x g dx d dx x f dx d dx x g dx x f dx d = . x g x f + Jadi, ∫ ∫ ∫ + = + dx x g dx x f dx x g x f ] [ . Contoh 2.5 ∫ ∫ + + = + dx x x x dx x x 6 9 3 4 3 2 2 2 = ∫ ∫ ∫ + + dx x dx x dx x 4 3 2 6 9 = ∫ ∫ ∫ + + dx x dx x dx x 4 3 2 6 9 = c x x x + + + 5 4 3 5 1 2 3 3 Contoh 2.6 dx x x x x x 1 sin 2 3 1 3 ∫ + + + = ∫ ∫ ∫ ∫ − + + + dx x dx x dx x dx x 2 3 3 sin 2 1 3 1 = c x x x x + − + − 1 2 4 1 cos 2 ln 3 1 4 Contoh 2.7 dx x x ] 5 1 2 1 3 [ 2 2 − + + − − ∫ = ∫ ∫ ∫ − + + − − dx x dx x dx 5 1 2 1 3 2 2 = 3 − c x arctgx x + − + 5 2 arcsin . Kita perhatikan bahwa . 1 1 ] 1 1 [ 1 x f x f n n c x f n dx d n n + + = + + + = . x f x f n Dengan demikian, ∫ + + = + c x f n dx x f x f n n 1 1 1 . .