Matriks-matriks Khusus Bahan Diskusi

1 utama. Jika ij a suatu matriks persegi dengan 1 = ij a untuk setiap i = j dan ≠ ij a untuk setiap i ≠ j, maka ij a disebut matriks identitas, dan dinotasikan dengan I. Suatu matriks mxn ij a disebut matriks kolom jika n = 1, dan disebut matriks baris jika m = 1. Negatip matriks A = mxn ij a dinotasikan dengan –A dan didefinisikan sebagai -A = mxn ij a − Jika A = mxn ij a , tranpose matriks A dinotasikan dengan A T adalah suatu matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukar unsur- unsur pada kolom ke-j menjadi unsur-unsur pada baris ke-j. Jadi A T = nxm ji a . Dua matriks A dan B dikatakan sama, dan dituliskan dengan A = B jika A dan B mempunyai ukuran yang sama dan unsur-unsur yang seletak sama. Jika A = mxn ij a , B = mxn ij b , maka A = B jika ij ij b a = untuk setiap i = 1, 2, 3, ...., m; j = 1, 2, 3, ..., n Contoh 1.1.1 Matriks A, B, dan C berikut masing-masing adalah matriks persegi 12 − = A           − − = 7 2 1 3 4 4 1 5 2 B               = 1 1 1 1 C Unsur unsur pada diagonal utama B berturut-turut adalah 2, -4, dan 7. Contoh 1.1.2 Diberikan           = 1 9 8 7 6 5 3 2 1 x A ,           + = 1 9 8 6 5 9 3 2 1 y x B Jika A = B, maka x = 9 dan x + y = 7. jadi y = -2 Contoh 1.1.3 Jika           = 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 C , maka -           = − − − − − − − − − = 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 C , dan               = 7 1 6 3 9 5 2 3 4 1 T C 2

2.1.3 Operasi Matriks

Jika A dan B adalah matriks yang berordo sama, misal A = mxn ij a dan B = mxn ij b , maka jumlahan A dengan B dituliskan dengan A + B yang didefinisikan sebagai A + B = mxn ij ij b a + sedangkan pengurangan A oleh B dituliskan dengan A – B yang didefinisikan sebagai A + -B. Jadi A - B = mxn ij ij b a − + = mxn ij ij b a − Perkalian skalar k dengan matriks A = mxn ij a adalah matriks kA = mxn ij ka . Jika A matriks beordo m x n dan B matriks berordo n x k, maka perkalian A dengan B dituliskan dengan AB adalah suatu matriks ij c berukuran m x k dengan nj in j i j i ij b a b a b a c + + + = 2 2 1 1 , untuk setiap i = 1, 2, 3, ... , m; j = 1, 2, 3, ... , k ij a adalah unsur ke-i kolom ke-j dari matriks A ij b adalah unsur ke-i kolom ke-j dari matriks B Contoh 1.2.1 Diberikan       − = 1 4 3 2 1 A ,           − = 5 4 1 1 3 1 2 1 B ,       = 6 5 4 3 2 1 C A + 2C =       + − + + + + + 6 . 2 1 5 . 2 4 4 . 2 3 3 . 2 2 . 2 2 1 . 2 1 =       11 14 11 6 6 3 AB = ij c berukuran 2 x 3, dengan 11 c = 1-1 + 23 + 01= -5, 12 c = 12 + 20 + 04 = 2, 13 c = 11 + 21 + 05 = 3 , 21 c = 3-1 + 43 + -11= 8, 22 c = 32 + 40 + -14 = 2, 23 c = 2 Jadi       − = 2 2 8 3 2 5 AB

2.1.4 Determinan Matriks

Determinan suatu matriks persegi A, dituliskan dengan detA atau A . Dalam bagian ini hanya dibahas determinan dari suatu matriks berukuran 2 x 2 dan 3 x 3, dan perlu diperhatikan pula bahwa penurunan 3 rumus determinan untuk matrik berukuran 2 x 2 dan 3 x 3 yang kita gunakan tidak dibahas langsung diterima. Adapun rumus determinan dari matriks 2 x 2 dan 3 x 3 adalah: a Jika       = d c b a A , maka bc ad A − = b Jika           = i h g f e d c b a A , maka bdi afh ceg cdh bfg aei A + + − + + = Rumus determinan pada Bagian b di atas dikenal dengan nama kaidah Sarrus. Suatu matriks persegi yang determinannya nol disebut matriks singular , sedangkan yang determinannya tidak nol disebut matriks non-singular . Contoh 1.3.1 Jika       − = 5 1 4 2 A ,       − − = 3 2 3 2 B ,           = 1 2 1 4 1 12 8 4 C , maka dengan menggunakan rumus determinan diperoleh detA = 14 1 4 5 2 = − − = A detB = 2 3 3 2 = − − − = B detC = [ ] 8 1 8 2 4 4 1 1 12 2 12 1 4 8 1 1 4 − = + + − + + = C Matriks A dan C tersebut, masing-masing merupakan matriks non- singular, sedang B merupakan matriks singular.

2.1.5 Matriks Kofaktor dan Adjoin Matriks

Jika ij a A = adalah matriks persegi, maka minor unsur ij a yang dituliskan dengan ij M adalah determinan dari suatu matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menghilangkan baris ke-i kolom ke-j. Bilangan Mij j i + − 1 disebut kofaktor unsur ij a , dan dituliskan dengan ij C Jika ij a A = berukuran n x n, maka matriks persegi nxn ij C , yaitu               Cnn C C C C C C C C n n n n 2 1 2 22 21 1 12 11 dengan ij C adalah kofaktor unsur ij a dari matriks A, disebut matriks kofaktor

A. Tranpose dari kofaktor A disebut adjoin A, yang dituliskan

dengan adjA.