PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN MATERI MATEMATIKA
1
. 16
1 2
2 2
2 1
2 1
2
4 4
= ×
× ×
= =
−
. 64
1 4
4 4
1 4
1 4
3 3
− =
− ×
− ×
− =
− =
−
−
SIFAT-SIFAT PERPANGKATAN Jika a dan b adalah bilangan real dan m, n adalah bilangan Asli, maka
berlaku:
1
n m
a n
a m
a +
= ×
2
≠ −
= a
untuk n
m a
n a
m a
3 n
m a
n m
a ×
= 4
m b
m a
m b
a ×
= ×
5
≠
=
b untuk
m b
m a
m b
a
Bukti:
1
a a
a a
a a
a a
n a
m a
× ×
× ×
× ×
× ×
× =
×
. .
. .
. .
=
a a
a a
a a
a a
× ×
× ×
× ×
× ×
× .
. .
. .
.
= n
m a
+ .
2 Untuk m=n
1 =
=
m m
n m
a a
a a
1 =
=
−
a a
n m
karena a tidak nol Jadi untuk m=n,
n m
n m
a a
a
−
=
.
Untuk mn
n m
n m
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
−
= ×
× ×
= ×
× ×
× ×
× ×
× ×
= .
. .
. .
. .
. .
Untuk mn coba sendiri 3
Coba sendiri 4
. .
. b
a b
a b
a b
a b
a
m
× ×
× ×
× ×
× ×
= ×
sebanyak m-faktor sebanyak n-faktor
sebanyak m+n-faktor
m-n faktor m - faktor
n - faktor
m - faktor
m - faktor m - faktor
2
= .
. .
. .
b b
b b
a a
a ×
× ×
× ×
× ×
× =
m m
b a
× .
5 Coba sendiri
Contoh 3:
a 3
3
×
3
4
= 3
7
b
5 3
8
7 7
7 =
c
6 3
2
4 4
=
d
3 3
3
5 3
5 3
× =
×
e
4 4
4
4 9
4 9
=
Sifat-sifat perpangkatan di atas juga berlaku untuk pangkat bilangan real. Sifat-sifat tersebut adalah sebagai berikut.
Jika a dan b adalah bilangan real positif dan x, y adalah bilangan real, maka berlaku:
1
y x
y x
a a
a
+
= .
2
≠ =
−
a untuk
a a
a
n m
n m
3
y x
y x
a a
.
=
4
x x
x
b a
b a
. .
=
5 ;
x x
y
a a
b b
b
= ≠
Contoh 4:
a
5 3
5 2
5 5
2 5
2 2
2 .
2 =
=
+
b
2 1
3 2
1 3
4 4
×
=
=
3 2
1
4
×
=
3 2
1
4
=
3
2
. c
3 7
3 1
2
3 3
. 3
=
3
d
3 2
4 2
3 4
2 2
5 .
5 3
. 3
5 .
3 5
. 3
=
− −
5 6
5 3
=
.
Contoh 5:
Jika x=4 dan y= 9
1 , hitung
2 1
2 3
2 1
2
. .
.
− −
−
y x
y x
Jawab:
2 1
2 3
2 1
2
. .
.
− −
−
y x
y x
=
− −
2 2
3 1
. y
x y
x
=
1 2
1
.
−
y x
= 9
1 4
2 1
= y
x = 18.
Contoh 6: Sederhanakan berikut ini.
a y
x y
x .
.
3 1
2 −
−
b
3 2
2 2
1
−
b a
c
2 1
2 2
1 2
. .
−
n m
n m
Jawab:
a y
x y
x .
.
3 1
2 −
−
=
1 1
3 2
.
− −
− −
y x
=
2 5
.
−
y x
=
2 5
y x
b
3 2
2 2
1
−
b a
=
3 4
3 1
−
b a
=
3 4
3 1
.b a
c
2 1
2 2
1 2
. .
−
n m
n m
=
2 1
2 2
1 2
. .
.
− −
n m
n m
=
1 2
1 1
2 1
. .
.
− −
−
n m
n m
4
=
2 2
1 n
n =
−
.
Contoh 7:
Sederhanakan
3 2
3
1
− −
−
+
−
+ −
b a
a b
b a
b a
Jawab:
3 2
3
1
− −
−
+
−
+ −
b a
a b
b a
b a
=
3 2
2 3
. .
b a
a b
b a
b a
+ −
+ −
− −
−
3 2
2 3
. .
. b
a b
a b
a b
a +
+ −
− =
− −
.
1
b a
b a
+ −
=
−
b a
b a
− +
= .
Contoh 8:
Sederhanakan
6 7
5
1 1
. 1
1 .
1 1
− −
+ −
−
+
p p
p p
Jawab:
6 7
5
1 1
. 1
1 .
1 1
− −
+ −
−
+
p p
p p
6 6
7 5
1 .
1 .
1 .
1 p
p p
p +
− −
+ =
− −
6 7
6 5
1 .
1
− +
−
− +
= p
p
1 .
1 p
p −
+ =
2
1 p
− =
. Contoh 9:
Nyatakan
1 2
2 1
2 3
− −
− −
+ −
y x
y x
dalam bentuk yang tidak memuat pangkat negatif.
Jawab:
1 2
2 1
2 3
− −
− −
+ −
y x
y x
= y
x x
y xy
x y
y x
y x
2 2
2 2
2 2
2 3
2 1
1 3
+ −
= +
−
+
−
=
2 2
2 2
2 .
3 x
y y
x xy
x y
2 .
3
2 2
x y
y x
y x
+ −
= .
5
3. Bentuk Akar
Kita akan mendefinisikan bentuk akar suatu bilangan dikaitkan dengan fungsi kuadrat. Kuadrat dari 2 adalah 4 dan kuadrat dari –2 juga
4. Oleh karena itu, jika ditanyakan “bilangan berapa yang kuadratnya 4?”, jawabnya adalah 2 dan –2. Perhatikan diagram berikut
Kalau relasi di atas dibalik, maka diperoleh:
Tentu relasi itu buka fungsi. Agar relasi kebalikannya merupakan fungsi, kita dapat membatasi range-nya hanya merupakan bilangan
yang tidak negatif. Relasi kebalikan dengan membatasi range-nya itu kita sebut dengan bentuk akar. Jadi kita katakan “akar kuadrat dari 4
adalah 2 -2 tidak termasuk”. Selanjutnya notasi akar pangkat dua
dari suatu bilangan a ≥
0 dinotasikan dengan
2
a
atau hanya ditulis
a
. Definisi yang “analog” digunakan untuk akar pangkat n n adalah bilangan genap dari suatu bilangan a
≥ 0. Sedangkan untuk
bilangan bulat ganjil n tidak mempergunakan syarat a tidak negatif , karena untuk n ganjil merupakan fungsi satu-satu. Definisi tersebut
diuraikan berikut ini.
Definisi 2.1 Misalkan a
≥ 0 dan n adalah bilangan Asli genap. Maka akar pangkat
n dari a adalah bilangan tidak negatif b sehingga
a b
n
=
, ditulis
b a
n
=
.
•
2
•
-2
•
4 kuadrat dari
•
2
•
-2
•
4 kuadratkan
6
Contoh 1:
3 9
=
, karena 3 tidak negatif dan kuadratnya sama dengan 9. Walaupun kuadrat dari –3 juga 9 tetapi karena bilangan
itu negatif, maka –3 tidak memenuhi.
4
16
=2, karena 2 tidak negatif dan
16 2
4
=
. Walaupun
4
2 −
juga 16 tetapi karena bilangan itu negatif, maka –2 tidak memenuhi.
16 −
tidak ada, karena tidak ada bilangan tak negatif yang
kuadratnya sama dengan –16. Secara umum tertuang dalam kalimat berikut ini.
Definisi 2.2 Misalkan a adalah bilangan real dan n adalah bilangan Asli ganjil.
Maka akar pangkat n dari a adalah bilangan b sehingga
a b
n
=
, ditulis
b a
n
=
. Contoh 2:
3
8 −
= -2 karena
8 2
3
= −
.
3
27
= 3 karena
27 3
3
=
.
3
27 −
= -3 karena
27 3
3
− =
−
.
Catatan: Untuk
0, a
≥
atau
a
dan m adalah bilangan genap atau
a
dan n
adalah bilangan ganjil,
n
a
sering kali ditulis dengan n
a 1
. n m
a sering kali ditulis dengan
n m
a
Perlu diingat:
Khusus untuk n=2,
n
a
hanya ditulis dengan
a
.
Perlu diingat: Akar pangkat dua dari suatu bilangan negatif tidak ada, karena
tidak ada bilangan real tak negatif yang kuadratnya merupakan bilangan negatif.
7
Contoh 3:
12
dapat ditulis dengan
2 1
12 3
27
−
= 3
3 3
− =
3 3
3 −
= - 3.
5 4
2 5
1 4
2 5
1 16
516 =
= =
Dengan memperhatikan definisi 2.1 dan 2.2 di atas, maka bentuk
n m
a
tidak selalu mempunyai makna. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.
Contoh 4: 2
3 2
− tidak
mempunyai makna
tidak ada
karena 8
3 2
2 3
2 −
= −
= −
. Sedangkan
8 −
tidak ada, karena tidak ada bilangan real tak negatif yang kuadratnya sama dengan –8.
Contoh 5:
Jika
25 =
x
dan 64
= y
, tentukan nilai
.
3 3
2
x y
x x
y −
Jawab:
.
3 3
2
x y
x x
y −
= 25
64 .
25 25
64
3 3
2
−
5 4
. 5
. 25
2
3 12
− =
125 16
125 16
− =
− =
.
Diskusi Nyatakan benar atau salah untuk setiap pernyataan berikut, sertakan
argumentasinya. Jika x, y dan z adalah bilangan real, maka:
1.
. .
x y x
y =
2.
2
x x
− =
8
Persamaan Sebelun mempelajari materi ini anda diharap telah mengingat dan
memahami pengertian kalimat terbuka dan kalimat pernyataan. Coba anda jelaskan pengertian dua istilah dan berikan beberapa
contoh Persamaan
adalah kalimat terbuka yang menggunakan relasi “=”.
Persamaan linier adalah persamaan yang variabelnya berderajad
satu. Coba anda definisikan “Persamaan kuadrat”
Berilah beberapa contoh persamaan linier Berilah beberapa contoh persamaan kuadrat
Coba jelaskan apa arti penyelesaian suatu persamaan Tiga hal berikut dapat kita lakukan dalam menentukan
penyelesaian dari persamaan, a. Menambah kedua ruas dengan bilangan yang sama.
b. Mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama. c. Membagi atau mengalikan kedua ruas dengan bilangan
yang sama dan bukan nol.
Suatu persamaan yang kedua ruasnya ditambah, dikurangi, dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama akan
menghasilkan persamaan linear yang setara ekivalen dengan persamaan linear semula.
Ekuivalen artinya adalah mempunyai penyelesaian yang sama.
Coba cari persamaan linear yang setara ekivalen dengan persamaan:
a. 3x + 4 = 5 b. 5t - 7 = 6 c. 7z = 8
Coba selesaikan persamaan linier 3 + 2; ≠ 0.
Persamaan Kuadrat Bentuk umum persamaan kuadrat dalam variabel
adalah +
+ = 0; , , ∈ , ≠ 0. Beberapa cara menyelesaikan persamaan kuadrat sebagai
berikut. a.
Cara Memfaktorkan
Contoh 1: + 2 − 15 = 0
⇔ + 5
− 3 = 0 ⇔ = −5 atau = 3.
Contoh 2:
9
2 − 11 + 15 = 0 ⇔ 2 − 5
− 3 = 0 ⇔ = atau = 3.