DEFINISI . Fungsi F disebut anti derivatif dari fungsi

10 Secara umum dinyatakan dengan teorema berikut ini. Bukti Teorema 2.2: Jika x F anti derevatif dari x f , maka . ] [ x f x F dx d = Untuk sebarang konstanta c, ] [ ] [ ] [ c dx d x F dx d c x F dx d + = + + = x f = x f . Dengan demikian c x F + juga anti derevatif dari . x f Contoh 2.2 Dengan memperhatikan diagram 1.1 dan Teorema 2.2 kita peroleh, Anti derivatif x cos adalah c x + sin , karena x c x dx d cos sin = + . Anti derivatif x 2 − adalah c x + − 2 , karena x c x dx d 2 2 − = + − . Anti derivatif x x 1 − adalah c x + 1 , karena x x c x dx d 1 1 − = + . Contoh 2.3 ln 2 1 = x x x F adalah anti derivatif dari x x f 2 1 = , karena x x dx d 2 1 ] ln 2 1 [ = . Demikian pula x x G 3 ln 2 1 = juga anti derivatif dari x f , karena x x dx d 2 1 ] 3 ln 2 1 [ = . Contoh 2.4 x x H 2 cos 2 1 − = adalah anti derivatif dari x 2 sin , karena . 2 sin ] 2 cos 2 1 [ x x dx d = − Demikian pula x x T 2 cos − = juga anti derivatif dari x 2 sin , karena . 2 sin ] cos [ 2 x x dx d = − Pada contoh 2.3, x F dan x G merupakan anti derivatif dari x 2 1 . Ternyata x G dapat dinyatakan sebagai x F ditambah suatu konstanta

2.2. TEOREMA . Jika

x F anti derevatif dari x f , maka untuk sebarang konstanta c, c x F + juga anti derivatif dari x f . 11 coba cek sendiri . Demikian pula pada contoh 2.4, x H dan x T keduanya merupakan anti derivatif dari x 2 sin . Ternyata 2 1 + = x H x T coba cek sendiri . Jika dua fungsi atau lebih merupakan anti derivatif dari x f , maka fungsi-fungsi itu hanya berbeda konstanta. Pernyataan ini dirumuskan dalam teorema berikut. Bukti Teorema 2.3: Misalkan x G x F x H − = . x G x F x H − = x f x f − = = x H Dengan demikian . c x H = Jadi, c x G x F = − . . c x G x F + = Jika x F adalah fungsi sehingga ] [ x f x F dx d = , maka fungsi dengan bentuk c x F + disebut anti derevatif dari x f dan ditulis dengan Simbol ∫ dibaca “integral” dan x f disebut “integran”. Pernyataan 1 dibaca “integral tak tentu dari fx sama dengan x F ditambah c. Kata “tak tentu” menunjukkan bahwa hasilnya tak tentu banyak fungsi yang mungkin, c disebut konstanta pengintegralan.Untuk menyederhanakan penulisan, seringkali dx “dimasukkan” pada integran. Contoh, ∫ dx . 1 ditulis dengan ∫ dx dan ∫ dx x 2 1 ditulis dengan ∫ 2 x dx . Dengan memperhatikam Contoh 2.1 sampai Contoh 2.4, kita dapat menulis: ∫ + = c x xdx 2 2 4 ∫ + = c x xdx sin cos ∫ + = − c x dx x x 1 1 ∫ + = c x dx x 4 3 4

2.3. TEOREMA . Jika