Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
170
Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15 cm dan kedua titik pusatnya terpisah sejauh 17 cm. Jika panjang jari-jari salah satu lingkaran adalah 3 cm,
tentukan panjang jari-jari lingkaran yang lain. Jawab :
Panjang garis singgung persekutuan dalam adalah 15 cm maka d = 15 cm. Jarak kedua titik pusatnya adalah 17 cm maka k = 17 cm.
Panjang jari-jari R salah satu lingkaran adalah 3 cm maka R = 3 cm. d
= k
R r
2 2
– +
15 = 17
3
2 2
– + r
15
2
= 17
2
– 3 + r
2
225 = 289 – 3 + r
2
3 + r
2
= 289 – 225 3 + r
2
= 64 3 + r = 8
r = 8 – 3 r = 5
Jadi, panjang jari-jari yang lain adalah 5 cm i i
Contoh Soal
7.5
4. Panjang Sabuk Lilitan Minimal yang menghubungkan Dua Lingkaran
Pernahkah kamu mengganti rantai roda sepedamu? Bagaimana kamu menentukan agar panjang rantai yang diperlukan tidak terlalu panjang atau
terlalu pendek?
Jawab : Soal tersebut dapat disajikan dalam gambar berikut.
Hitunglah keliling dan luas persegipanjang jika
diketahui panjang garis singgung persekutuan luar AB
= 3 2 cm.
Problematika
O P
B A
2r r
P Q
14 cm 30 cm
4 cm
Diketahui k = 30 cm R
= 14 cm r
= 4 cm sehingga d = k
R r
2 2
– +
= 30 14 4
2 2
– +
= 30 18
2 2
– = 900 324
– = 576
= 24 Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 24 cm
A O
B Q
A O
B Q
Panjang PQ = 20 cm, AB = 25 cm, dan
AP = 9 cm. Perbandingan luas lingkaran yang
berpusat di A dengan luas lingkaran yang berpusat di
B adalah .... a. 3 : 2
b. 5 : 3 c. 9 : 4
d. 9 : 7
Jawab:
PQ AB
AP BQ
PQ AB
AP BQ
= -
+ =
- +
2 2
2 2
2 2
2 2
20 25
9 400
625 9
= -
+ =
- +
BQ B
BQ BQ
BQ
2 2
9 15
6 +
= =
LA : LB p
r
A 2
: p
r
B 2
p 9
2
: p6
2
81p : 36p
9:4
Jawaban: c
Soal UAN, 2003
Solusi Matematika
Di unduh dari : Bukupaket.com
Garis Singgung Lingkaran
171
Dua buah pipa air dengan jari-jari yang sama, yaitu 21 cm akan diikat menggunakan seutas kawat.
Berapa panjang kawat minimal yang dibutuhkan? Jawab :
Jari-jari = 21 cm sehingga R = r = 21 cm PQ
= RS = AB dan PS = QR maka panjang kawat minimal untuk mengikat
dua pipa air, misalkan x, adalah x
= 2AB + 2 PS = 2
×
21 + 21 + 2
×
180 360
˚ ˚
× × ×
2 22
7 21
= 2
×
42 + 2
×
1 2
2
× × ×
22 3 = 84 + 132
= 216 Jadi, panjang kawat terpendek yang diperlukan adalah 216 cm
h i i
Contoh Soal
7.6
Jika α˚ menyatakan besar sudut yang menghadap busur ASC maka besar sudut yang menghadap busur BTD adalah 360˚ – α˚. Kenapa demikian?
Tahukah kamu alasannya? Berdasarkan uraian di atas, dapat dihitung panjang sabuk lilitan minimal
untuk menghubungkan dua lingkaran. Oleh karena AB = CD maka
P A
C R
α 360˚ – α
S Q
T r
D B
Panjang sabuk lilitan minimal = 2AB + ASC + BTD Dengan, AB =
– – PQ
R r
2 2
ASC =
a ˚ ˚
360 × 2
̟ R BTD
= 360
360 ˚– ˚
˚ a
× 2 ̟ r
A P
Q
R S
B
Gambar berikut ini adalah penampang sepuluh buah
paralon yang akan diikat dengan menggunakan tali.
Berapakah panjang tali terpendek agar
dapat mengikat paralon- paralon itu jika diameter
paralon 21 cm?
Problematika
Jika kamu perhatikan, dua roda gigi sepeda biasa dianggap sebagai dua lingkaran dan rantai yang melilitnya sebagai garis singgung persekutuan
luar. Perhatikan gambar berikut ini.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
172
Gambar di samping menunjukkan penampang 3 buah paralon yang terikat rapat oleh seutas tali.
Jika ketiga paralon tersebut memiliki ukuran jari- jari yang sama, yaitu 14 cm, hitunglah panjang tali
pengikatnya. Jawab :
Jari-jari = r = 14 cm. PQ = RS = TU = MN = NO = MO =
2r = 2 × 14 = 28 cm
ΔMNO sama sisi, sehingga ∠MNO = ∠MON ∠OMN
= 60˚ ∠QNR = ∠SOT = ∠ PMU
= 360˚ ∠∠MNQ + ∠MNO + ∠RNO = 360˚ ∠90˚ + 60˚ + 90˚
= 360˚ ∠240˚ = 120˚ QR
= ST = PU = 120
360 ˚
˚ × 2
p r =
1 3
× × ×
2 22
7 14 =
88 3
cm sehingga
x = panjang tali pengikat paralon
= PQ + RS + TU + QR + ST + PU = 3PQ + 3QR
= 3 × 28 + 3 × 88
3 = 84 + 88 = 172
Jadi, panjang tali pengikat paralon tersebut adalah 172 cm
N 60˚
M
S C
R B
Q P
U A
T O
1. Lukislah garis singgung persekutuan luar dan garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran berikut
ini. a.
b.
c. 2. Perhatikan gambar berikut ini.
Uji Kompetensi 7.2
P A
B ß˚
α˚ R
Q S
Berdasarkan pengamatanmu, jawablah benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut.
a. AP sejajar BQ b. panjang
PQ = panjang RS
c. PQ
┴
RS d. AB adalah sumbu simetri bangun tersebut
e. α˚ = ß˚ di
Contoh Soal
7.7
O
O
O P
P
P Kerjakanlah soal-soal berikut.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Garis Singgung Lingkaran
173
2r 4r
5r M
P
N r
Q 3. Perhatikan gambar berikut ini.
Panjang AB
= 25 cm, AD = 4 cm, dan BC = 11 cm. Berapakah panjang CD?
4. Dua lingkaran masing-masing berjari-jari 8 cm dan 7 cm. Jarak terdekat kedua sisi lingkaran adalah 10
cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran tersebut.
5. Dua lingkaran masing-masing berpusat di titik O dan P dengan panjang jari-jari 10 cm dan 6 cm. Jika jarak
kedua titik pusat lingkaran adalah 34 cm, tentukan panjang garis singgung AB.
6. Perhatikan gambar berikut.
C. Lingkaran Luar dan Lingkaran Dalam Segitiga
Pada subbab terakhir ini, kamu akan mempelajari tentang lingkaran yang dikaitkan dengan segitiga, yaitu lingkaran luar dan lingkaran dalam suatu
segitiga.
1. Lingkaran Luar Segitiga
a. Pengertian Lingkaran Luar Segitiga
Lingkaran luar suatu segitiga adalah suatu lingkaran yang melalui semua titik sudut segitiga dan berpusat di titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisi
segitiga. Gambar di samping menunjukkan lingkaran luar ΔABC dengan pusat O.
OA = OB = OC adalah jari-jari lingkaran dan OP = OQ = OR adalah garis
sumbu sisi-sisi segitiga.
b. Melukis Lingkaran Luar Segitiga
Telah disebutkan sebelumnya bahwa titik pusat lingkaran luar suatu segitiga adalah titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisinya. Oleh karena itu, untuk
dapat melukis lingkaran luar segitiga, kamu harus melukis dulu garis sumbu ketiga sisi segitiga tersebut.
Perhatikan langkah-langkah berikut. 1 Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalnya ΔPQR. Kemudian, lukis lah
garis sumbu PQ. 2 Lukislah garis sumbu QR sehingga memotong garis sumbu PQ di titik O.
A C
P R
Q O
B D
C
A B
A
O P
B Panjang
MP = 2r, PQ = 4r, dan MN = 5r. Jika
r = 2 cm, tentukan jarak antara kedua titik pusat
lingkaran dan panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut.
7. Tiga buah pipa paralon, akan diikat seperti tampak pada gambar di bawah. Jika jari-jari ketiga paralon
tersebut sama, yaitu 10 cm, tentukan panjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat paralon
tersebut.
Di unduh dari : Bukupaket.com
