Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
106
8. Sebuah kapal berlayar dari titik A ke arah timur sejauh 3 km. Kemudian, kapal tersebut berbelok
ke arah utara sejauh 4 km dan sampai di titik B. Dari titik B, kapal layar tersebut melanjutkan
perjalanannya ke arah timur sejauh 6 km dan berbelok ke arah utara sejauh 8 km. Akhirnya,
sampailah kapal tersebut di titik C. Tentukan: a. jarak titik A ke titik B,
b. jarak titik B ke titik C, c. jarak titik A ke titik C.
9. Sebuah televisi memiliki lebar layar 15 cm dan tinggi layar 8 cm. Tentukanlah
a. panjang diagonal layar televisi tersebut, b. keliling layar televisi tersebut,
c. luas layar televisi tersebut. 10. Seorang lelaki harus berenang melintasi sungai
selebar 12 m agar dapat sampai ke pohon pisang yang terletak di seberang sungai. Namun, pada jarak
7 m disebelah kanan pohon pisang itu terdapat seekor buaya. Berapa jarak buaya dari lelaki itu?
B. Garis-Garis Pada Segitiga
Di kelas VII, kamu telah mengenal berbagai macam garis pada segitiga. Garis-garis pada segitiga tersebut adalah garis tinggi, garis berat, garis bagi,
dan garis sumbu. Masih ingatkah kamu pengertian untuk masing-masing garis tersebut ?
Pada subbab ini, kamu akan mempelajari bagaimana menentukan dan menghitung panjang garis-garis pada segitiga. Namun, garis-garis pada segitiga
yang dibahas pada bab ini dibatasi hanya garis tinggi dan garis berat.
1. Garis Tinggi Pada Segitiga
Sebelum mempelajari perhitungan garis tinggi pada segitiga, kamu harus memahami terlebih dahulu proyeksi titik atau garis pada suatu garis. Proyeksi
merupakan dasar perhitungan garis tinggi pada segitiga. Coba kamu pelajari uraian berikut.
a. Proyeksi
Untuk memahami apa yang dimaksud dengan proyeksi, coba kamu perhatikan Gambar 5.7a. Pada gambar tersebut terlihat titik P diproyeksikan terhadap
garis AB. Hasil proyeksi titik P tersebut adalah titik P. Sekarang, coba kamu perhatikan Gambar 5.7b gambar tersebut menunju-
kan proyeksi titik P terhadap garis AB dengan posisi yang berbeda. Hasil proyeksi titik P tersebut adalah P.
Dari uraian ini apa yang dapat kamu ketahui? Proyeksi sebuah titik adalah pembentukan bayangan suatu titik terhadap satu bidang, dengan syarat garis
hubung titik dan titik hasil proyeksinya harus tegak lurus dengan bidang tersebut.
Bagaimana panjang garis proyeksi tersebut ? Ada dua macam perhitungan yang dapat kamu lakukan. Berdasarkan materi persamaan garis lurus yang
telah kamu pelajari, dapat diuraikan sebagai berikut. • Menentukan panjang proyeksi titik P x
1
, y
1
, jika titik hasil proyeksi P
x
2
, y
2
diketahui. Panjang proyeksi =
x x
y y
2 1
2 2
1
y
2
- +
- • Menentukan panjang proyeksi titik P x
1
, y
1
, jika persamaan garis ax + by
+ c = 0 diketahui.
P x
1
,y
1
P x
2
,y
2
B A
Gambar 5.7: Proyeksi titik pada garis
P x
1
, y
1
P x
2
, y
2
A
B
a
b
Di unduh dari : Bukupaket.com
Teorema Pythagoras dan Garis-Garis pada Segitiga
107
Panjang proyeksi = ax
by c
a b
1
x
1
y
2 2
+ +
+ Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan dan pelajari Contoh Soal 5.12.
Contoh Soal
5.12
1. Sebuah titik A3, 5 di proyeksikan pada sebuah garis dan menghasilkan titik hasil proyeksi A–2, –3. Tentukan panjang garis hubung dari titik A ke titik A.
2. Garis 2x + y – 5 = 0 merupakan bidang alas proyeksi titik B0, 3. Tentukan panjang garis proyeksi titik B ke garis tersebut.
Jawab: 1. Diketahui: A3, 5 didapat x
1
= 3 y
1
= 5 Dari titik A–2, –3 didapat x
1
= –2 y
2
= – 3 Panjang proyeksi
= -
+ -
= - -
+ - - =
- +
– x
x y
y
2 1
2 2
1 2
2 2
2 3 3 5
5
2
8 8
25 25 64
2
= +
= Jadi, panjang proyeksi titik tersebut adalah 89 cm.
2. Diketahui: B0, 3 didapat x
1
= 0, y
1
= 3 2x + y – 5 didapat a = 2, b = 1, c = – 5
diperoleh Panjang proyeksi
= +
+ +
= ◊ + . -
+ =
+ - +
= -
ax by
c a
b
1 1
2 2
2 2
2 0 ◊◊
1 ++ 3 5
2 1
0 3 5 4 1
2 5
= =
= 22
5 2
5 Jadi, panjang proyeksi tersebut adalah
2 5
5 cm
Di unduh dari : Bukupaket.com
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
108
Selain pada titik, proyeksi pun dapat dilakukan pada sebuah garis. Coba kamu perhatikan Gambar 5.8. Pada gambar tersebut terlihat berbagai
macam proyeksi suatu garis terhadap garis yang lain. Misalkan suatu garis AB
diproyeksikan terhadap garis k. Hasil yang diperoleh adalah garis AB. Perhatikan kembali Gambar 5.8 secara saksama. Kedua garis yang
diproyeksikan selalu tegak lurus dengan garis bidang alas. Pada Gambar 5.8. a, garis AB merupakan hasil proyeksi dari garis
AB . Pada Gambar 5.8. b, garis AB merupakan hasil proyeksi dari garis
AB namun, titik A berimpit dengan hasil proyeksinya karena titik A terletak
di garis k. Pada Gambar 5.8. c, garis AB memotong garis bidang proyeksi, sehingga
titik A diproyeksikan ke atas menuju garis k dan b titik B diproyeksikan ke bawah terhadap garis k.
Terakhir, pada Gambar 5.8. d, garis AB tegak lurus terhadap garis bidang proyeksi. Sehingga garis hasil proyeksi berupa sebuah titik pada
garis k. Sekarang, bagaimana menghitung panjang garis proyeksi suatu garis
terhadap garis lainnya ? Coba kamu perhatikan Gambar 5.9 ini.
A B
A B
k
A B
A B
k
A B
A B
k
A
B A = B
k
a
b
c
d
a b
D B
c A
b E
C a
D B
A b
C a
c–x x
Gambar 5.9 : Panjang garis proyeksi Gambar 5.8 : Proyeksi garis terhadap garis
Perhatikan segitiga ABC pada Gambar 5.9.a beserta ukuran-ukuran di setiap sisinya. Dari gambar terlihat bahwa AD adalah hasil proyeksi AC
terhadap AB. Untuk menghitungnya, misalkan panjang AD adalah x. Dengan demikian panjang DB menjadi c–x. Perhatikan Gambar 5.9. b.
Dengan menggunakan teorema Pythagoras. Kamu dapat menghitung panjang garis proyeksi AC terhadap AB, yaitu panjang AD.
• Perhatikan ∆ ADC, panjang CD dapat dihitung sebagai berikut. CD
2
= b
2
– x
2
• Perhatikan ∆ DBC, panjang CD dapat dihitung sebagai berikut. CD
2
= a
2
– c – x
2
• Dari kedua uraian tersebut, diperoleh persamaan: b
2
– x
2
= a
2
– c – x
2
b
2
– x
2
= a
2
– c
2
– 2cx + x
2
b
2
– x
2
= a
2
– c
2
+ 2cx – x
2
b
2
= a
2
– c
2
+ 2cx x
b a
c c
= -
+
2 2
2
2 Perhatikan kembali Gambar 5.9.a . Panjang garis proyeksi sisi b
terhadap sisi c, yaitu AD adalah :
Di unduh dari : Bukupaket.com
Teorema Pythagoras dan Garis-Garis pada Segitiga
109
AD b
a c
c =
- +
2 2
2
2 Dengan cara yang sama, panjang garis proyeksi sisi a terhadap sisi c,
yaitu panjang DB adalah: DB
D D
a c
b c
= +
-
2 2
2
2 Begitu pula dengan panjang garis proyeksi sisi a terhadap sisi b, yaitu
panjang EC adalah: EC
a b
c b
= +
-
2 2
2
2
Contoh Soal
5.13
b. Menghitung garis tinggi pada segitiga
