Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
74
3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Coba kamu perhatikan bentuk-bentuk persamaan linear dua variabel berikut. 2x + 3y = 8
4a + b = 8 x + y = 2
a – b = 1
p + 2q =
9 9c + f = 12
5p + q =
4 c – 3f = 2
3m – 2n = 1 k
+ l = 6 m + 3n = 5
2k + 2l = 12
3. Diketahui persamaan 5x – y = 10 di mana x
∈
{0, 1, 2, 3} dan y
∈
{bilangan asli}. • Jika dipilih nilai x = 0 dari yang diketahui maka:
5x – y = 10 5 · 0 – y = 10
0 – y = 10 y
= –10 Nilai
y = –10 tidak memenuhi syarat karena bukan anggota bilangan asli.
• Jika ditetapkan nilai x = 1 dari yang diketahui maka: 5x – y = 10
5 · 1 – y = 10 5 – y = 10
y = –5
Nilai y
= –5 tidak memenuhi syarat karena bukan anggota bilangan asli. • Jika diambil nilai x = 2 dari yang diketahu maka:
5x – y = 10 5 · 2 – y = 10
10 – y = 10 y
= 0 Nilai
y = 0 tidak memenuhi syarat karena bukan anggota bilangan asli.
• Sehungga untuk nilai x yang terakhir, yaitu = 3 maka: 5x – y = 10
5 · 3 – y = 10 15 – y = 10
y = 5
Diperoleh x
= 3 dan y = 5 atau dapat dituliskan x,y = 3, 5. Jadi, himpunan penyelesaian dari 5x – y = 10 dengan x
∈
{0, 1, 2, 3} dan y
∈
bilangan real adalah {3, 5}. Jika digambarkan dalam bidang koordinat Cartesius maka diperoleh gambar berikut.
6 5
4 3
2 1
1 2 3 4 5 6 y
x 3,5
Di unduh dari : Bukupaket.com
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
75
Dari uraian tersebut terlihat bahwa masing-masing memiliki dua buah persamaan linear dua variabel. Bentuk inilah yang dimaksud dengan Sistem
Persamaan Linear Dua Variabel SPLDV. Berbeda dengan persamaan dua variabel, SPLDV memiliki penyelesaian atau himpunan penyelesaian yang
harus memenuhi kedua persamaan linear dua variabel tersebut. Contoh, perhatikan sistem SPLDV berikut.
Penyelesaian dari sistem persamaan linear adalah mencari nilai-nilai x
dan y yang dicari demikian sehingga memenuhi kedua persamaan linear. Perhatikan Tabel 4.1 berikut ini.
2x + y = 6 x
+ y = 5 x
= 0, y = 6 x
= 0, y = 5 x
= 1, y = 4 x
= 1, y = 4 x
= 2, y = 2 x
= 2, y = 3 x
= 3, y = 0 x
= 3, y = 2 ....
x = 4, y = 1
.... x
= 5, y = 0 Tabel 4.1 menjelaskan bahwa persamaan linear 2x + y = 6 memiliki
4 buah penyelesaian. Adapun persamaan linear x + y = 5 memiliki 6 buah penyelesaian. Manakah yang merupakan penyelesaian dari 2 x + y = 6 dan
x + y = 5? Penyelesaian adalah nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan linear tersebut. Perhatikan dari Tabel 4.1 nilai x = 1 dan y = 4 sama-sama
memenuhi penyelesaian dari kedua persamaan linear tersebut. Jadi, dapat dituliskan:
Agar kamu lebih memahaminya, perhatikan dan pelajari Contoh Soal 4.5 berikut ini.
Tentukan penyelesaian dari masing-masing persamaan dan penyelesaian dari SPLDV berikut ini.
1. 4x + y = 8 2x + y = 4
2. x + y = 3 x
+ 2y = 5 3. 3x + y = 6
2x + 2y = 4 Jawab:
1. Dari tabel berikut tampak bahwa persamaan 4x + y = 8 memiliki 3 penyelesaian dan persamaan 2x + y = 4 memiliki 3 penyelesaian, tapi, hanya ada satu
penyelesaian yang memenuhi SPLDV tersebut, yaitu x = 2 dan y = 0. Dapat juga dituliskan Hp = {2, 0}.
Contoh Soal
4.5
}
x , y
∈
bilangan cacah
}
x , y
∈
bilangan cacah
}
x , y
∈
bilangan asli
}
x , y ∈bilangan cacah
2x + y = 6 x
+ y = 5
Tabel 4.1 SPLDV
}
Hp = {1,4} 2x + y = 6
x + y = 5
Di unduh dari : Bukupaket.com
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
76
1. Dengan menggunakan sifat-sifat kesamaan, tentu- kanlah penyelesaian persamaan berikut.
a. 4a – 10 = 14 b. 12x + 4 = 28
c. 15 – 3x = 6 d. 8y – 6 = 5y + 9
e. 15 – z = 4z – 5
2. Umur Budi x tahun, sedangkan umur Iwan 3 kali umur Budi. Jika jumlah umur mereka adalah 44
tahun, tentukan: a. model matematika dari soal tersebut,
b. umur mereka masing-masing. 3. Perhatikan persegi ABCD pada gambar di samping,
tentukan: a. nilai
r ,
b. keliling persegi ABCD, c. luas persegi ABCD,
Uji Kompetensi 4.1
4x + y = 8 2x + y = 4
x = 0, y = 8
x = 0, y = 4
x = 1, y = 4
x = 1, y = 1
x = 2, y = 0
x = 2, y = 0
2. Perhatikan tabel berikut
Dari tabel tersebut tampak bahwa persamaan x + y = 3 memiliki 4 penyelesaian. Adapun persamaan x + 2y = 5 memiliki 3 penyelesaian. Satu-satunya
penyelesaian SPLDV tersebut adalah x = 1 dan y = 2. Jadi, Hp = {1, 2}. 3. Perhatikan tabel berikut.
3x + y = 6 2x + 2y = 4
x = 1, y = 3
x = 1, y = 1
x = 2, y = 0
x = 2, y = 0
Dari tabel tersebut tampak bahwa persamaan 3x + y = 6 memiliki 2 penyelesaian dan persamaan 2x + 2y = 4 memiliki 2 penyelesaian. Akan tetapi, penyelesaian
yang memenuhi SPLDV adalah x = 2 dan y = 0. Jadi, Hp = {2, 0}
4. Diketahui sebuah persegi panjang dengan ukuran seperti gambar berikut.
Jika keliling persegi panjang ABCD adalah
44 cm, tentukanlah:
a. nilai x
,
b. panjang PQ
, c. panjang
QR ,
d. luas persegi panjang ABCD.
5. Tentukanlah penyelesaian dari persamaan berikut. a. 2a + 3 = 12
b. 52r – 3 = 5 c. 3p + 6 = 2p – 3
d. 62 – x = 12 S
P R
x + 4 cm
3x + 1 cm Q
D
A C
r + 3 cm 2r – 1 cm B
x + y = 3
x + 2y = 5
x = 0, y = 3
x = 1, y = 2
x = 1, y = 2
x = 3, y = 1
x = 2, y = 1
x = 5, y = 0
x = 3, y = 0
–
Kerjakanlah soal-soal berikut.
e. 45 – 2x = 12
Di unduh dari : Bukupaket.com
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
77
6. Sebutkan variabel, koefesien, dan konstanta dari persamaan linear dua variabel berikut ini.
a. 2a + b = 5 b. x + y – 2 = 0
c. 4p – 3q + 1 = 0 d. 3m – n = 4m + 2n – 3
e. 5x + y = x – 3y + 4 7. Tentukanlah tiga titik koordinat yang dilalui oleh
garis dengan persamaan berikut. a. 4x + 3y = 0
b. x – 3y + 5 = 0 c. 2x + 3y – 8 = 0
d. x + 4y = 12 e. 8x – 2y + 2 = 0
8. Gambarkan dengan grafik himpunan penyelesaian dari persamaan linear dua variabel berikut.
a. x + y = 4, dengan x, y
∈
bilangan asli b. 5x – y = 2, dengan x
∈
{1, 2, 3}, y
∈
bilangan asli.
9. Buatlah model matematika persamaan linear dari kalimat-kalimat berikut.
a. Umur adik ditambah 2 kali umur kakak adalah 20 tahun.
b. Harga 2 buku ditambah 3 pensil adalah Rp 10.000,00.
c. Keliling persegipanjang dengan ukuran panjang tiga kali ukuran lebar adalah 20 cm.
10. Tentukan penyelesaian masing-masing persamaan linear dalam SPLDV berikut. Tentukanlah pula
penyelesaian SPLDV-nya a. 2x + y = 4
x + 3y = 6
b. 5x – y = 3 x
+ y = 2 c. 4x + 2y = 8
x + 2y = 4
}
x , y
∈
bilangan cacah
}
x , y
∈
bilangan asli
}
x
∈
{1, 2, 3,}, y
∈
bilangan cacah
B. Penyelesaian SPLDV
Kategori