42
Gambar 14 Contoh partisi
Kemudian kita pilih
∗
yang berada pada subinterval [
−
, ] sebagai
∗
= supaya lebih mudah. Dengan mengacu pada pendefinisian integral tertentu
maka diperoleh ∫
= lim
→∞
∑
∗
∆
=
= lim
→∞
∑
=
= lim
→∞
[ + + ⋯ + ] . =
Jadi, ∫
= Terlihat bahwa integral tertentu menunjukan suatu luas. Dari sini timbul pertanyaan,
apakah untuk menentukan integral tertentu selalu harus selalu menggambar dan menggunakan partisi? Jawabannya adalah tidak harus. Kita cukup bersyukur dan
bangga dengan adanya Teorema Fundamental Kalkulus TFK yang diantaranya menyatakan bahwa
∫ =
−
dimana adalah anti turunan dari
.
1 2
1
∆ ∆
∆
Modul Pelatihan Matematika SMA
43
Berkaitan dengan penulisan, banyak orang menggunakan | untuk mengganti
− . Dalam tulisan ini tidak dibahas mengenai bukti TFK, namun pembaca
dapat memperolehnya di referensi [1, [2] dan [3] Misalkan untuk contoh tadi, kita akan menentukan hasil dari
∫ . Langkah
pertama adalah menentukan anti turunan primitive dari =
yaitu = ∫
= +
Dengan memakai TFK maka diperoleh ∫
= −
= [ + ] − [
+ ] =
6. Menentukan luas daerah
Untuk menentukan luas daerah khususnya daerah yang dibatasi oleh dua grafik dilakukan dengan menghitung integral tertentu masing-masing kurva. Proses ini
dapat dilakukan jika integral tak tentu sudah diperoleh. Untuk itu, gunakan cara-cara untuk menentukan integral tak tentu yang sudah dibahas pada bagian sebelumnya.
Jika dua grafik membentuk kurva tertutup sederhana misalkan fungsi dan maka untuk menentukan luas daerah yang dimaksud adalah dengan menentukan integral
tertentu − dengan batas integral titik-titik potongnya.
44
Gambar 15 Kurva tertutup sederhana
Gambar 16 Kurva tertutup tidak sederhana
Mengapa demikian? Coba cermati uraian berikut. Diberikan fungsi dan seperti gambar di bawah ini.
Gambar 17 Luas daerah antara dua kurva
Dengan memperhatikan grafik di atas jelas bahwa dapat ditentukan dengan
kurva tertutup sederhana
kurva tertutup tidak sederhana
Modul Pelatihan Matematika SMA
45
= ∫ − ∫
= ∫ −
Selanjutnya, untuk daerah berikut, apakah untuk menghitung luas juga dilakukan pengurangan seperti cara sebelumnya?
Gambar 18 Contoh luas daerah antara dua kurva
Apakah = ∫
− ?
Sekarang coba perhatikan bila kedua fungsi di atas masing-masing ditambah sehingga luasannya di atas sumbu- .
Gambar 19 Contoh luas daerah antara dua kurva
Perhatikan bahwa menambahkan pada masing-masing fungsi tidak mengubah luas maupun absis titik potong kedua fungsi tersebut. Dengan demikian luas
L adalah luas daerah dibawah kurva
+ dikurangi luas daerah dibawah kurva +
dengan batas dan
. Atau dalam bentuk integral dinyatakan dengan = ∫
+ − ∫
+
