22
lim
→
√ + −
− = √lim
→
+ lim
→
− −
Perhatikan bahwa teorema L hopital dapat digunakan untuk bagian lim
→ −
−
saja, tidak perlu mulai dari
lim
→
√ +
− −
Contoh 6.4: a.
lim
→ −
−
memuat bentuk karena
− −
= . Jadi penyelesaiannya adalah lim
→
− −
= lim
→
− ′
− ′
= lim
→
= lim
→
=
b . lim
→
√
− −
+ −
� − �−
memuat bentuk hanya pada bagian
− −
. Secara
jelasnya bentuk tersebut adalah √ + −
� − �−
.
Perhatikan bagian dari lim
→
√
− −
+ −
� − �−
yang memuat bentuk yaitu
√ + −
� − �−
sehingga hanya bentuk ini yang perlu teorema L hopital .
Jadi lim
→
√
− −
+ −
� − �−
= lim
→
√
− ′
− ′
+ −
� − �−
= lim
→
√ −
+ −
− −
= lim
→
√ −
+ −
− −
= √ = √
Modul Pelatihan Matematika SMA
23
Hal ini dapat dilakukan mengingat sifat limit c . lim
→
√√ − −
= lim
→
√ √ − ′
− ′
= lim
→
√ √
= √
b. Limit fungsi
�
untuk x menuju tak hingga limits at infinity 1 Limit fungsi yang memuat bentuk
∞ − ∞.
Limit fungsi yang memuat bentuk ∞ − ∞ umumnya diselesaikan melalui cara
mengalikan dengan sekawannya Contoh 6.5:
a . lim
→∞
− √ −
= lim
→∞
− √ −
∙ + √
− + √
− = lim
→∞
− −
+ √ −
= lim
→∞
+ √ −
∙
= lim
→∞
+ √ −
= lim
→∞
+ √ − =
+ √ − =
b. lim
→∞
√ + − √ − = lim
→∞
√ + − √ − ∙
√ + +√ − √ + +√ −
= lim
→∞ + −
− √ + +√ −
= lim
→∞ √ + +√ −
24
= lim
→∞ √ +
7 �
+√ −
�
[pembilang dan penyebut dibagi ]
=
√ + +√ −
=
2 Limit fungsi yang memuat bentuk
∞ ∞
Limit fungsi yang memuat bentuk
∞ ∞
dengan pembilang dan penyebut suatu polinomial, perlu memperhatikan
Pangkat tertinggi variabel pembilang lebih besar dari penyebut maka tidak punya limit
Contoh 6.6: lim
→∞
− + −
+ = lim
→∞
− +
− +
= lim
→∞ − +
�
−
�
+
�
= lim
→∞
− lim
→∞
+ lim
→∞
− lim
→∞
lim
→∞
+ lim
→∞
=
i
�→∞
− + − +
= ∞
Pangkat tertinggi variabel penyebut lebih besar dari pangkat tertinggi variabel pembilang maka nilai limitnya nol
Contoh 11: lim
→∞
+ − +
= lim
→∞
+ − +
= lim
→∞ +
�
−
�
+
�
= lim
→∞ + −
+
= Pangkat tertinggi variabel pembilang sama dengan pangkat tertinggi
variabel penyebut maka nilai limitnya adalah perbandingan koefisien variabel tertinggi dari pembilang dan penyebut
Modul Pelatihan Matematika SMA
25
Contoh 6.7: a . lim
→∞
− + −
+ = lim
→∞
− +
− +
= lim
→∞ −
�
+
�
−
�
+
�
=
− + − +
=
b. lim
→∞ √
− + −
+
. Perhatikan bahwa suku dengan variabel pangkat tertinggi pembilang
adalah . Karena di dalam akar maka untuk keperluan menghitung
limit, suku tersebut dipandang sebagai √ menghilangkan suku
− + − . Tetapi sebenarnya tidak demikian lihat latihan.
Sehingga pengerjaan dapat disederhanakan sebagai lim
→∞ √
− + −
+
= lim
→∞ √
= lim
→∞ √
=
√
=
c. lim
→∞ √
− − −
= lim
→∞ √
=
√
D. Aktivitas Pembelajaran
Aktivitas 1:
Perhatikan penyelesaian dari soal berikut. i Tentukan
lim
→ −
−
ii Tentukan penyelesaian dari
− −
= Pengerjaan untuk i
26
Pengerjaan ii
Mencermati pengerjaan tersebut, memunculkan pertanyaan mengapa proses mencoret pada pengerjaan i boleh dilakukan, tetapi proses mencoret pengerjaan ii
tidak boleh dilakukan? Jelaskan
Aktivitas 2:
Diketahui hubungan antara temperatur dan Volum � pada suatu wadah
bertekanan tetap adalah =
�− , ,
. Dengan mencermati hubungan tersebut, apakah mempunyai batas bawah? Jelaskan mengapa demikian.
Aktivitas 3a:
Perhatikan pengerjaan limit berikut
Jelaskan secara rinci dan detail sifat-sifat apa saja yang digunakan untuk mengerjakan soal limit tersebut.
