Tujuan Indikator Pencapaian Kompetensi Aktivitas Pembelajaran

66 KB 2 : Fungsi Trigonometri, Sudut Berelasi, dan Invers Fungsi Trigonometri

A. Tujuan

- Menjelaskan konsep enam perbandingan trigonometri fungsi trigonometri. - Menggeneralisasi rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran dan sudut-sudut berelasi. - Menjelaskan konsep invers fungsi trigonometri.

B. Indikator Pencapaian Kompetensi

Peserta diklat atau pembaca dapat menjelaskan konsep enam perbandingan trigonometri, fungsi trigonometri, dan menggeneralisasi rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran dan sudut-sudut berelasi serta dapat menjelaskan konsep invers dari fungsi trigonometri.

C. Uraian Materi

Pada saat kita jalan-jalan ke hutan, kita akan melihat banyak pohon. Pernahkah kita berfikir, berapa tinggi pohon tersebut?. Gambar 6 Pengamatan sudut pada pohon Lebih lanjut, dapatkah kita mengetahui tinggi pohon tanpa harus mengukurnya langsung? Ketika kita melihat pucuk pohon tersebut, maka dapat kita bayangkan sebuah segitiga siku-siku terbentuk disana, yaitu antara kita, pucuk pohon, dan arah horizontal kita dengan pohon tersebut. Ternyata, tanpa mengukur langsung, kita dapat menentukan tinggi pohon dengan segitiga yang terbentuk dari pohon dan bayangannya. Lebih lanjut, kita akan bahas dalam materi trigonometri berikut, yang selanjutnya bisa kita aplikasikan salah satunya untuk menghitung tinggi pohon. Modul Pelatihan Matematika SMA 67

1. Fungsi Trigonometri

Perhatikan gambar segitiga siku – siku berikut. Jelas bahwa ∆ABC sebangun dengan ∆ADE, dan ∆AFG. Dari sini berakibat bahwa = = Karena perbandingan di atas tetap maka nilai perbandingan di atas hanya bergantung pada ∠ . Dengan kata lain, perbandingan di atas adalah fungsi dari ∠ , bukan fungsi panjang segitiga. Dari uraian di atas, berikut didefinisikan fungsi sinus ∠ atau sin ∠ dalam hal ini ∠ terletak di kuadran I. = = = ∠ Analog perbandingan = = didefinisikan sebagai ∠ atau ∠ . = = = ∠ dan perbandingan = = didefinisikan sebagai ∠ atau ∠ . A B C D E F G Gambar 7 Segitiga – segitiga siku – siku yang sebangun 68 = = = ∠ Selanjutnya didefinisikan juga fungsi ฀ atau ฀ , ∠ atau ∠ , dan ฀ atau ฀ . ฀ = ฀ ฀ = ฀ ฀ = ฀

2. Sudut Istimewa

a. Sudut ° Pandang segitiga ABC siku – siku di B dan titik C berimpit dengan titik B. Ini berarti ∠ = ° dan BC = 0, serta AB = AC. Ini berakibat ° = ∠ = = � = Selanjutnya, ° = ∠ = = = ° = ∠ = = = b. Sudut ° Perhatikan segitiga siku-siku , diketahui ฀ = °, dan panjang = . Modul Pelatihan Matematika SMA 69 A B C 60 30 C’ 60 30 a a 2a 2a Gambar 8 Segitiga samasisi maka ฀ = °. Selanjutnya, segitiga dicerminkan terhadap garis , diperoleh segitiga sama sisi ’ dengan panjang sisi . Akibatnya panjang sisi = . Perhatikan kembali segitiga siku-siku , = , = , dengan Dalil Pythagoras diperoleh = √ − = √ − = √ − = √ = √ sehingga, perbandingan trigonometri untuk sudut ° adalah sebagai berikut.  ° = = =  ° = = √ = √  tan ° = = √ = √ = √  cot ° = = √ = √  sec ° = = √ = √ = √  csc ° = = = c. Sudut ° Diperhatikan segitiga siku-siku sama kaki berikut. 70 a a A C B 45 45 Gambar 9 Segitiga samakaki Diperoleh sudut dan sama dengan °. Diketahui panjang = , maka = . Dengan Dalil Pythagoras, diperoleh = √ + = √ + = √ = √ sehingga, perbandingan trigonometri untuk sudut ° adalah sebagai berikut.  sin ° = = √ = √ = √  cos ° = = √ = √ = √  tan ° = = =  cot ° = = =  sec ° = = √ = √  csc ° = = √ = √ d. Sudut ° Dari penjelasan pada sudut °, dapat ditentukan pula perbandingan trigonometri untuk sudut °. Diperhatikan Gambar 8, diperoleh perbandingan trigonometri untuk sudut ° adalah sebagai berikut.  ° = = √ = √  ° = = =  ° = = √ = √ Modul Pelatihan Matematika SMA 71  ° = = √ = √ = √  ° = = =  ° = = √ = √ = √ e. Sudut ° Dengan cara yang sama dengan sudut °, dalam sistem kuadran sudut ° berada pada sumbu dengan = , = , dan = , untuk ≠ . Perbandingan trigonometri untuk sudut ° adalah sebagai berikut.  ° = = =  ° = = =  ° = = =  ° = = =  ° = = =  ° = = =

3. Sudut Berelasi

Dalam sub bab ini berisi cara untuk menentukan atau menghitung nilai-nilai dari keenam perbandingan trigonometri untuk suatu sudut A yang berada di kuadran I, II, III, maupun IV. Hal ini dapat dilakukan apabila sudut A dapat diubah atau direlasikan dengan suatu sudut � di kuadran I dengan � ° . Sebagai contoh sudut A=120 ° berelasi dengan sudut � = ° atau � = °, karena = ° + ° atau = ° − °. Relasi dari sudut-sudut ini dalam trigonometri dapat dilukiskan pada grafik Cartesius dengan sifat pencerminan refleksi maupun perputaran rotasi.  Sudut berelasi di kuadran I Relasi sudut � dengan ° − � , dengan � °