66
KB 2 : Fungsi Trigonometri, Sudut Berelasi, dan Invers Fungsi Trigonometri
A. Tujuan
- Menjelaskan konsep enam perbandingan trigonometri fungsi trigonometri.
- Menggeneralisasi rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran
dan sudut-sudut berelasi. -
Menjelaskan konsep invers fungsi trigonometri.
B. Indikator Pencapaian Kompetensi
Peserta diklat atau pembaca dapat menjelaskan konsep enam perbandingan trigonometri, fungsi trigonometri, dan menggeneralisasi rasio trigonometri untuk
sudut-sudut di berbagai kuadran dan sudut-sudut berelasi serta dapat menjelaskan konsep invers dari fungsi trigonometri.
C. Uraian Materi
Pada saat kita jalan-jalan ke hutan, kita akan melihat banyak pohon. Pernahkah kita berfikir, berapa tinggi pohon tersebut?.
Gambar 6 Pengamatan sudut pada pohon
Lebih lanjut, dapatkah kita mengetahui tinggi pohon tanpa harus mengukurnya langsung? Ketika kita melihat pucuk pohon tersebut, maka dapat kita bayangkan
sebuah segitiga siku-siku terbentuk disana, yaitu antara kita, pucuk pohon, dan arah horizontal kita dengan pohon tersebut. Ternyata, tanpa mengukur langsung, kita
dapat menentukan tinggi pohon dengan segitiga yang terbentuk dari pohon dan bayangannya. Lebih lanjut, kita akan bahas dalam materi trigonometri berikut, yang
selanjutnya bisa kita aplikasikan salah satunya untuk menghitung tinggi pohon.
Modul Pelatihan Matematika SMA
67
1. Fungsi Trigonometri
Perhatikan gambar segitiga siku – siku berikut.
Jelas bahwa ∆ABC sebangun dengan ∆ADE, dan ∆AFG. Dari sini berakibat bahwa =
= Karena perbandingan di atas tetap maka nilai perbandingan di atas hanya
bergantung pada ∠
. Dengan kata lain, perbandingan di atas adalah fungsi dari
∠ , bukan fungsi panjang segitiga. Dari uraian di atas, berikut
didefinisikan fungsi sinus ∠
atau sin ∠
dalam hal ini ∠
terletak di kuadran I.
= =
= ∠
Analog perbandingan =
= didefinisikan sebagai
∠ atau
∠ .
= =
= ∠
dan perbandingan =
= didefinisikan sebagai
∠ atau
∠ .
A B
C
D E
F G
Gambar 7 Segitiga
– segitiga siku – siku yang sebangun
68
= =
= ∠
Selanjutnya didefinisikan juga fungsi
atau
, ∠
atau ∠
, dan
atau
.
=
=
=
2. Sudut Istimewa
a. Sudut °
Pandang segitiga ABC siku – siku di B dan titik C berimpit dengan titik B. Ini
berarti ∠
= ° dan BC = 0, serta AB = AC. Ini berakibat
° = ∠
= =
�
= Selanjutnya,
° = ∠
= =
= ° =
∠ =
= =
b. Sudut °
Perhatikan segitiga siku-siku , diketahui
= °, dan panjang = .
Modul Pelatihan Matematika SMA
69
A
B C
60
30
C’
60
30
a a
2a 2a
Gambar 8 Segitiga samasisi
maka = °.
Selanjutnya, segitiga dicerminkan terhadap garis
, diperoleh segitiga sama sisi
’ dengan panjang sisi . Akibatnya panjang sisi =
. Perhatikan kembali segitiga siku-siku
, = ,
= , dengan Dalil Pythagoras diperoleh
= √ −
= √ −
= √ −
= √ = √
sehingga, perbandingan trigonometri untuk sudut ° adalah sebagai
berikut.
° = =
=
° = =
√
= √ tan ° =
=
√
=
√
= √ cot ° =
=
√
= √ sec ° =
=
√
=
√
= √ csc ° =
= =
c. Sudut °
Diperhatikan segitiga siku-siku sama kaki berikut.
70
a a
A
C B
45 45
Gambar 9 Segitiga samakaki
Diperoleh sudut dan sama dengan °. Diketahui panjang
= , maka
= . Dengan Dalil Pythagoras, diperoleh = √
+ = √ +
= √ = √
sehingga, perbandingan trigonometri untuk sudut ° adalah sebagai
berikut. sin ° =
=
√
=
√
= √ cos ° =
=
√
=
√
= √ tan ° =
= = cot ° =
= = sec ° =
=
√
= √ csc ° =
=
√
= √
d. Sudut °
Dari penjelasan pada sudut °, dapat ditentukan pula perbandingan
trigonometri untuk sudut °. Diperhatikan Gambar 8, diperoleh perbandingan
trigonometri untuk sudut ° adalah sebagai berikut.
° =
=
√
= √
° = =
=
° = =
√
= √
Modul Pelatihan Matematika SMA
71
° =
=
√
=
√
= √
° = =
=
° = =
√
=
√
= √
e. Sudut °
Dengan cara yang sama dengan sudut °, dalam sistem kuadran sudut ° berada
pada sumbu dengan
= , = , dan = , untuk ≠ . Perbandingan trigonometri untuk sudut
° adalah sebagai berikut.
° = = =
° = = =
° = = =
° = = =
° = = =
° = = =
3. Sudut Berelasi
Dalam sub bab ini berisi cara untuk menentukan atau menghitung nilai-nilai dari keenam perbandingan trigonometri untuk suatu sudut A yang berada di kuadran I,
II, III, maupun IV. Hal ini dapat dilakukan apabila sudut A dapat diubah atau direlasikan dengan suatu sudut
� di kuadran I dengan � ° . Sebagai
contoh sudut A=120 ° berelasi dengan sudut � = ° atau � = °, karena = ° +
° atau = ° − °. Relasi dari sudut-sudut ini dalam trigonometri dapat
dilukiskan pada grafik Cartesius dengan sifat pencerminan refleksi maupun perputaran rotasi.
Sudut berelasi di kuadran I Relasi sudut
� dengan ° − � , dengan � °