32
Kurang, berarti Anda belum dapat memahami pengertian limit. Oleh karena itu Anda perlu mempelajari
lagi dari awal dan menambah referensi dari sumber lain
H. Kunci Jawaban
1. Jawab: Setiap
terdapat dan sehingga berlaku | − |
�
jika | − | dan |
− |
�
jika | − | . Selanjutnya, pilih =
min { , }, maka akan berlaku |[
+ ] − [ + ]| = |
− +
− | |
− | + | − |
+ =
2. Jawab: Tidak harus. Contoh
lim
→
√ − = , tetapi limit kiri tidak ada karena domain fungsinya adalah
3. Jawab: lim
→ i
= lim
→
.
i
. Karena untuk → maka
→ maka berlaku lim
→ i
= lim
→
.
i
= lim
→ i
= . =
4. Jawab: Andaikan
lim
→
= . Maka kita dapat ambil = | | + sehingga berlaku
| − | | | + jika | | untuk suatu . Sementara itu untuk | |
| |+
maka dipenuhi | | + | |. Sehingga dengan memilih
∗
= min{ , | | + } maka berlaku
| | + | | = | − + |
| − | + | |
Modul Pelatihan Matematika SMA
33
| | + + | |
= | | + Terjadi suatu kontradiksi karena tidak mungkin
| | + | | + . Jadi pengandaian salah, yang berarti
lim
→
tidak ada
KB2 : Turunan dan Integral
A. Tujuan
Kegiatan belajar ini bertujuan untuk memberikan pemahaman kepada peserta diklat atau pembaca berkaitan dengan pengertian turunan, integral yang mencakup integral
tak tentu dan integral tertentu serta teorema fundamental kalkulus. Selain itu, kegiatan belajar ini ditujukan untuk memberikan tambahan pengetahuan berkaitan
dengan cara menyelesaikan integral tak tentu dan integral tertentu. Kegiatan yang dimaksud dapat dilakukan secara mandiri maupun dalam kegiatan diklat.
B. Indikator Pencapaian Kompetensi
Setelah membaca dan mengikuti serangkaian kegiatan pada modul ini, peserta diklat atau pembaca mampu
1. memahami pengertian turunan, integral tak tentu dan integral tertentu dari suatu fungsi
2. menentukan hasil integral tak tentu dan integral tertentu fungsi aljabar 3. menentukan hasil integral tak tentu dan integral tertentu fungsi trigonometri
4. memahami teorema fundamental kalkulus
C. Uraian Materi 1. Pengertian Turunan
Jika kita berbicara mengenai kecepatan, percepatan, nilai maksimum dan minimum suatu fungsi maka sebenarnya kita sedang membahas mengenai turunan. Sementara
itu turunan secara definisi adalah pengembangan dari konsep limit. Sebagai awal pembicaraan marilah kita memahami turunan sebagai gradien garis singgung.
Perhatikan gradien garis bukan garis singgung yang memotong kurva =
berikut.
34
Gambar 11 Gradien
Gardien garis =
∆ ∆
=
+∆ − ∆
. Untuk
∆ → dapat diilustrasikan seperti gambar berikut
Gambar 12 Pemahaman gradien garis singgung Dengan demikian gradien garis singgung kurva di titik
, namakan dapat
dipahami sebagai formula = lim
∆ →
+ ∆ − ∆
jika nilai limitnya ada. Misalkan fokus kita tidak pada pada satu titik, tetapi pada titik sembarang di domainnya maka formula di atas dapat dinyatakan sebagai suatu
fungsi yang dilambangkan dengan ′
dimana ′
= lim
ℎ→
+ ℎ − ℎ
jika limitnya ada. Bentuk terakhir inilah yang dinamakan turunan dari fungsi pada
domainnya. Mengingat penjelasan sebelumnya maka turunan fungsi ini dapat
Modul Pelatihan Matematika SMA
35
dikatakan sebagai fungsi gradien garis singgung kurva . Berkaitan dengan notasi ini, ada sebagian literatur yang menyajikan
′
sebagai [
]′ atau ′
Contoh 1.1: Tentukan turunan dari
= Jawab:
′
= lim
ℎ→
+ ℎ − ℎ
= lim
ℎ→
+ ℎ − ℎ
= lim
ℎ→
+ ℎ + ℎ − ℎ
= lim
ℎ→
ℎ + ℎ ℎ
= lim
ℎ→
+ ℎ =
2. Sifat-sifat dan Teorema Turunan
Perlu menjadi perhatian bahwa ketika ingin menentukan turunan suatu fungsi, kita tidak harus kembali pada definisinya, tetapi memanfaatkan teorema atau sifat-sifat
pada turunan. Berikut ini beberapa sifat dan teorema terkait turunan serta beberapa hasil turunan yang sering digunakan. Bukti untuk sifat di atas tidak disajikan dalam
tulisan ini, tetapi pembaca dapat memperolehnya di buku referensi [2] pada daftar pustaka.
1 [ ]
′
=
−
2 [
]
′
= [ ]
′
3 [
± ]
′
= [ ]′ ± [
]
′
4 [
. ]
′
= [ ]
′
± [
]
′
5 [
]
′
=
[ ]
′
+ [
]
′
[ ]
6 [
]
′
=
′
. ′ 7
[ ]
′
= 8
[ln| |]′ = 9
[ ] = ln
10 [sin ]
′
= cos
36
11 [cos ]′ = − sin
12 [tan ]
′
= sec Contoh 2.1
Tentukan turunan dari =
−
i
Jawab: Dengan memanfaatkan sifat turunan diperoleh
[ − sin
]
′
= [ ]
′
− [ sin
]
′
= −
cos − sin
Contoh 2.2 Tentukan gardien garis singgung kurva
= log di titik ,
Jawab: Untuk menentukan gradien garis singgung di suatu titik, dapat dilakukan melalui
definisi menggunakan limit atau dengan cara menentukan fungsi turunannya terlebih dahulu. Misalnya kita mengambil cara menentukan fungsi turunannya
terlebih dahulu
′
= [log ]
′
= [ ln
ln ]
′
= ln
= ln
Berarti
′
= .
Jadi gradien garis singgung di titik , adalah
3. Integral Tak Tentu Indefinite Integral
Sebelum pembicaraan lanjut, marilah kita bahas mulai dari istilahnya. Mengapa ada kata tak tentu? Misalkan kita ingin mencari fungsi yang mempunyai turunan
= . Mungkin saja kita langsung menentukan
= karena
′
= . Tetapi
jika diperhatikan lagi, masih banyak fungsi yang turunannya . Contoh
= + ,
= + mempunyai hasil turunan
′
= dan
′
= .
Kita masih dapat menentukan banyak lagi fungsi lain yang turunannya =
. Pengerjaan seperti ini dinamakan menemukan suatu antiturunan dari suatu fungsi.
Proses menentukan fungsi sedemikaian hingga
′
= dinamakan proses
antiturunan atau pengintegralan tak tentu. Secara definisi dituliskan sebagai berikut.
