36
11 [cos ]′ = − sin
12 [tan ]
′
= sec Contoh 2.1
Tentukan turunan dari =
−
i
Jawab: Dengan memanfaatkan sifat turunan diperoleh
[ − sin
]
′
= [ ]
′
− [ sin
]
′
= −
cos − sin
Contoh 2.2 Tentukan gardien garis singgung kurva
= log di titik ,
Jawab: Untuk menentukan gradien garis singgung di suatu titik, dapat dilakukan melalui
definisi menggunakan limit atau dengan cara menentukan fungsi turunannya terlebih dahulu. Misalnya kita mengambil cara menentukan fungsi turunannya
terlebih dahulu
′
= [log ]
′
= [ ln
ln ]
′
= ln
= ln
Berarti
′
= .
Jadi gradien garis singgung di titik , adalah
3. Integral Tak Tentu Indefinite Integral
Sebelum pembicaraan lanjut, marilah kita bahas mulai dari istilahnya. Mengapa ada kata tak tentu? Misalkan kita ingin mencari fungsi yang mempunyai turunan
= . Mungkin saja kita langsung menentukan
= karena
′
= . Tetapi
jika diperhatikan lagi, masih banyak fungsi yang turunannya . Contoh
= + ,
= + mempunyai hasil turunan
′
= dan
′
= .
Kita masih dapat menentukan banyak lagi fungsi lain yang turunannya =
. Pengerjaan seperti ini dinamakan menemukan suatu antiturunan dari suatu fungsi.
Proses menentukan fungsi sedemikaian hingga
′
= dinamakan proses
antiturunan atau pengintegralan tak tentu. Secara definisi dituliskan sebagai berikut.
Modul Pelatihan Matematika SMA
37
Perlu menjadi perhatian bahwa kata suatu disini amat penting, karena kata suatu itu menunjuk pada salah satu fungsi antiturunannya. Operasi untuk menentukan
semua anti turunan ditulis dengan simbol integral ʃ . Jadi penyelesaian proses
ini dituliskan sebagai ∫
= + .
Dengan melihat hubungan antara proses pengintegralan dengan proses turunan maka dapat dikatakan bahwa integral adalah invers dari turunan.
Contoh 4.1: a.
Diberikan = , tentukan
i suatu anti turunan dari ii hasil dari
∫ Jawab:
i Karena yang diminta hanya menentukan suatu antiturunan, kita dapat dengan bebas memilih suatu fungsi yang turunannya
, misalkan saja ambil fungsi
= + maka
ini adalah suatu anti turunan dari .
ii Untuk pertanyaan kedua, sebenarnya kita diminta menentukan semua fungsi yang turunannya
. Jadi hasilnya adalah ∫
= + dimana suatu konstanta
Sebelum membahas mengenai luas daerah yang dibatasi grafik, perlu dibahas terlebih dahulu cara menentukan hasil integral tak tentu
b. Tentukan hasil dari i
∫ +
ii ∫
+ cos + sin Jawab:
i ∫
+ = ∫
+ =
+ +
ii ∫
+ cos + sin =
+ cos − sin + Fungsi dinamakan suatu antiturunan dari pada interval jika
′
= untuk setiap
yang berada dalam interval
38
4. Strategi sederhana dalam menentukan hasil integral tak tentu
Sedapat mungkin disederhanakan jika bisa dilakukan Contoh 5.1:
a. ∫
− −
= ∫
− +
−
= ∫ + =
+ + b.
∫ +
−
+
+
+
= ∫ +
−
+
∙ +
+
= ∫ +
+
+
+
= ∫ +
∙ =
+ +
Jika ada faktor yang bentuk aljabarnya relatif sederhana, hindari untuk pemisalan Contoh 5.2:
Tentukan ∫ √ +
Perhatikan bahwa bentuk aljabar lebih mudah dari bentuk aljabar
+ . Oleh karena itu hindari pemisalan
= . Gunakan pemisalan = + .
= ↔
= . Jadi
∫ √ + = ∫ √
= ∫ √ = +
= √ +
+
Untuk fungsi rasional, jadikan sebagai penjumlahan dengan penyebut faktor- faktornya
Contoh 5.3: Tentukan
∫
− −
Perhatikan bahwa − −
= −
+
