Modul Pelatihan Matematika SMA
73
° − � = �
° − � = �
° − � = �
° − � = �
° − � = �
° − � = �
Diperhatikan bahwa, untuk sudut yang berelasi dengan ° − � ,
berubah menjadi
, berubah menjadi
, berubah menjadi
, berubah
menjadi ,
berubah menjadi , dan
berubah menjadi .
Sudut berelasi di kuadran II Relasi sudut-sudut dalam kuadran II meliputi relasi antara sudut
� dengan ° + � atau � dengan
° − � , dengan � °.
Relasi sudut � dengan sudut
° + � . Perhatikan gambar berikut
x y
O
Aa,b A’-b,a
a a
-b 90 +
Gambar 11 Sudut berelasi di kuadran II
Diketahui titik , , dengan panjang
= , dan ∠ = �. Titik
, diputar berlawanan arah jarum jam sejauh
°, diperoleh i.
Bayangan titik ∶ − ,
74
ii. ∠
= ° + �
iii. Panjang =
= . Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri sudut
� dan
° + �
Tabel 3
Untuk , dan sudut �
Untuk − , dan sudut
° + � �° =
�° =
�° = �° =
�° = �° =
° + � = ° + � = −
° + � = −
° + � = − ° + � = −
° + � =
Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut � dengan sudut
° + � , yaitu :
° + � = �
° + � = − �
° + � = − �
° + � = �
° + � = − �
° + � = − �
Diperhatikan bahwa, untuk sudut yang berelasi dengan ° + � ,
berubah menjadi
, berubah menjadi
, berubah menjadi
, berubah
Modul Pelatihan Matematika SMA
75
menjadi ,
berubah menjadi , dan
berubah menjadi . Selanjutnya
karena ° + � berada di kuadran II, maka
dan bernilai positif,
sedangkan yang lainnya bernilai negatif. Relasi sudut � dengan sudut
° − � . Perhatikan gambar berikut
x y
O
Aa,b a
b 180 -
-a A’-a,b
Gambar 12 Relasi sudut
� dengan sudut ° − �
Diketahui titik , , dengan panjang
= , dan sudut = �. Titik
, dicerminkan terhadap sumbu , maka diperoleh : i.
Bayangan titik ∶ − ,
ii.
= ° − �
iii. Panjang =
= . Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri
sudut � dan
° − �
Tabel 4
Untuk , dan sudut � Untuk − , dan sudut
° − � �° =
�° =
�° = �° =
° − � = ° − � = −
° − � = − ° − � = −
76
�° = �° =
° − � = − ° − � =
Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut � dengan sudut
° − � , yaitu : ° − � =
� ° − � = −
� ° − � = −
� ° − � =
� ° − � = −
� ° − � = −
� Sudut berelasi di kuadran III
Relasi sudut-sudut dalam kuadran III meliputi relasi antara sudut � dengan
° + � atau � dengan ° − � , dengan �
°. Relasi sudut � dengan
° + � . Perhatikan gambar berikut
x y
O
Aa,b a
b 180 +
-a
A’-a,-b -b
Gambar 13 Sudut berelasi di kuadran III
Diketahui titik , , dengan panjang
= , dan sudut = �. Titik
, diputar berlawanan arah jarum jam sejauh °, diperoleh
i. Bayangan titik
∶ − , − . ii.
=
+ � iii. Panjang
= = .
Modul Pelatihan Matematika SMA
77
Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri sudut
� dan ° + � .
Tabel 5
Untuk , dan sudut � Untuk − , − dan sudut
° + � �° =
�° = �° =
�° = sec �° =
�° = ° + � = −
° + � = − ° + � =
° + � = ° + � = −
° + � = −
Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut � dengan
sudut ° + � , yaitu :
° + � = − �
° + � = − �
° + � = �
° + � = − �
° + � = − sec � ° + � =
� Relasi sudut � dengan sudut
° − � . Perhatikan gambar berikut
78
x y
O
Aa,b A’b,a
a b
a
b y=x
A”-b,-a -b
-a
270 -
Gambar 14 Relasi sudut
� dengan sudut ° − �
Diketahui titik , , dengan panjang
= , dan = �. Titik
, dicerminkan terhadap garis
= , kemudian dilanjutkan dengan rotasi sejauh
°, diperoleh i.
Bayangan akhir titik ∶
− , − ii.
∠ =
° − � iii. Panjang
= =
= . Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri
sudut � dan sudut
° − � .
Tabel 6
Untuk , dan sudut �
Untuk − , − dan sudut
° − � �° =
�° =
�° = ° − � = −
° − � = − ° − � =
Modul Pelatihan Matematika SMA
79
�° = �° =
�° = ° − � =
° − � = − ° − � = −
Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut � dengan sudut
° − � , yaitu ° − � = −
� ° − � = − sin �
° − � = �
° − � = − �
° − � = − �
° − � = �
Diperhatikan bahwa, untuk sudut yang berelasi dengan ° − � ,
berubah menjadi ,
berubah menjadi ,
berubah menjadi ,
berubah menjadi ,
berubah menjadi , dan
berubah menjadi
. Selanjutnya karena ° − � berada di kuadran III, maka
dan bernilai positif, sedangkan yang lainnya bernilai negatif.
Sudut berelasi di kuadran IV
Relasi sudut-sudut dalam kuadran IV meliputi relasi antara sudut �
dengan ° + � , � dengan
° − � , atau � dengan −� dengan �
°. Relasi sudut � dengan
° + � . Perhatikan gambar berikut
80
x y
O Aa,b
a b
b
A’b,-a -a
270 +
Gambar 15 Sudut berelasi di kuadran IV
Diketahui titik , , dengan panjang
= , dan ∠ = �. Titik
, diputar berlawanan arah jarum jam sejauh
°, diperoleh i.
Bayangan titik ∶
, − ii.
∠ =
° + � iii. Panjang
= = .
Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri sudut
� dan ° + � .
Tabel 7
Untuk , dan sudut �
Untuk , − dan sudut
° + � �° =
�° =
�° = �° =
° + � = − ° + � =
° + � = −
° + � = −
Modul Pelatihan Matematika SMA
81
�° = �° =
° + � = ° + � = −
Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut �
dengan sudut ° + � , yaitu :
° + � = − cos� ° + � =
� ° + � = −
� ° + � = −
� ° + � =
� ° + � = −
� Diperhatikan bahwa, untuk sudut yang berelasi dengan
° + � , berubah menjadi
, berubah menjadi
, berubah menjadi
, berubah menjadi
, berubah menjadi
, dan berubah
menjadi . Selanjutnya karena
° + � berada di kuadran IV, maka dan
bernilai positif, sedangkan yang lainnya bernilai negatif.
Relasi sudut � dengan sudut
° − � . Perhatikan gambar berikut
82
x y
O
Aa,b a
b
A’a,-b -b
360 -
Gambar 16 Relasi sudut
� dengan sudut ° − �
Diketahui titik , , dengan panjang
= , dan sudut = �. Titik
, dicerminkan terhadap sumbu , diperoleh :
i. Bayangan titik
∶ , −
ii. ∠
= ° − �
iii. Panjang =
= . Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri
sudut � dan
° − � .
Tabel 8
Untuk , dan sudut �
Untuk , − dan sudut
° − � �° =
�° =
�° = �° =
�° = �° =
° − � = − ° − � =
° − � = − ° − � = −
° − � = ° − � = −
Modul Pelatihan Matematika SMA
83
Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut � dengan
sudut ° − � , yaitu
° − � = − �
° − � = �
° − � = − �
° − � = − �
° − � = �
° − � = − �
Relasi sudut
� dengan sudut −� . Perhatikan gambar berikut
x y
O
Aa,b a
b
A’a,-b -b
-
Gambar 17 Relasi sudut
� dengan sudut −�
Diketahui titik , , dengan panjang
= , dan = �. Titik
, dicerminkan terhadap sumbu , diperoleh : i.
Bayangan titik ∶
, − ii.
∠ = − �
iii. Panjang =
= . Selanjutnya
berdasarkan gambar,
diperoleh perbandingan
trigonemetri sudut � dan −� .
84
Tabel 9
Untuk , dan sudut �
Untuk , − dan sudut −�
�° = cos �° =
�° = �° =
�° = �° =
−� = − −� =
−� = − −� = −
−� = −� = −
Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut � dengan sudut
−� , yaitu : −� = −
� −� =
� −� = −
� −� = −
� −� =
� −� = −
� Sudut yang lebih besar dari
° Perbandingan trigonometri untuk sudut
°, dapat dilakukan dengan cara mengubah
menjadi ∙
° + � , dengan k adalah bilangan asli. Nilai perbandingan trigonometri dari sudut yang lebih dari
° mengikuti aturan berikut ∙
° + � = �
∙ ° + � =
� ∙
° + � = �
Modul Pelatihan Matematika SMA
85
∙ ° + � =
� ∙
° + � = �
csc ∙ ° + � =
�
Tentukan nilai dari : a.
° b.
° Jawab :
a. Untuk menentukan nilai dari
° dapat dilakukan dengan beberapa cara
i. Cara I. ° =
° + ° =
° = √
ii. Cara II. ° =
° − ° =
° = √
b. Untuk menentukan nilai dari ° dapat dilakukan dengan
beberapa cara i. Cara I.
° = ° + °
= − °
= −
ii. Cara II. ° =
° − ° = −
° = −
4. Invers fungsi trigonometri
Sebelumnya diingat kembali bahwa setiap fungsi pasti memiliki invers, namun tidak semua invers tersebut merupakan fungsi. Hanya fungsi yang
86
berkorespondensi satu – satu bijektif sajalah yang inversnya merupakan
fungsi. Diberikan sebuah fungsi : A
→ B. Fungsi invers dari fungsi dituliskan
−
adalah fungsi yang memenuhi, jika
−
= , maka = , untuk setiap ∈ dan ∈ .
Pernyataan tersebut ekuivalen dengan
−
disebut fungsi invers dari fungsi jika dan hanya jika
−
= dan
−
= , untuk setiap ∈ , dan untuk setiap
∈ . Setiap fungsi trigonometri memiliki inversnya, namun tidak semua inversnya merupakan fungsi, mengingat bahwa fungsi
trigonometri bersifat periodik. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut. Diberikan fungsi
= . Jelas bahwa
° = , dan ° = , diperoleh bahwa
−
= ° atau
−
= °. Dalam
hal ini, invers dari =
bukan merupakan fungsi. Namun jika domain dari
dibatasi maka invers fungsi tersebut bisa menjadi fungsi. Misalkan fungsi
= sin dengan domain 0
o
≤ ≤ 90
o
. Invers dari fungsi =
sin merupakan fungsi. Selanjutnya didefinisikan fungsi invers dari fungsi trigonometri sebagai berikut :
Tabel 10
Fungsi Invers dari
Domain Range
sin
−
sin [− , ]
[− °, °] cos
−
cos [− , ]
[ °, °]
tan
−
tan −∞, ∞
− °, °
Catatan:
−
tidak sama dengan .
Bentuk
−
bisa ditulis dengan arcsin . Demikian juga untuk yang lainnya,
−
ditulis dengan dan,
tan
−
ditulis dengan . Lebih
lanjut penulisan pangkat − , diganti dengan
didepan fungsi trigonometri.
Selanjutnya, misalkan = , maka
= , sehingga diperoleh
Modul Pelatihan Matematika SMA
87
= =
Akibatnya = =
atau =
Analog dengan cara yang sama diperoleh =
dan =
Contoh soal Tentukan sudut
� pada gambar berikut.
3
4
Gambar 18 Segitiga Siku - siku
Jawab : Dengan rumus perbandingan trigonometri tangen diperoleh
� = = , atau diperoleh
� = ,
≈ , °
Catatan : Untuk menentukan nilai arctan dan lainnya bisa menggunakan tabel trigonometri atau menggunakan kalkulator.
88
D. Aktivitas Pembelajaran
Untuk lebih memantapkan pemahaman peserta diklat atau pembaca tentang invers fungsi trigonometri, isilah titik
– titik di bawah ini untuk menyederhanakan bentuk berikut ini.
− +
Untuk menyelesaikan permasalahan diatas dapat dilakukan dengan tahapaan berikut.
i. Dimisalkan
− +
= �, maka � =
… …
ii. Selanjutnya dari � =
… …
diperoleh gambar
y
...
...
iii. Langkah selanjutnya adalah dengan mencari nilai . Dengan dalil Pythagoras diperoleh:
= √ … . . − … . . = √ ….. − …..
= √… . = ⋯ √…
iv. Selanjutnya dari gambar tersebut, dengan rumus perbandingan sudut diperoleh
� = …
… √… Jadi,
− +
= −
√
Modul Pelatihan Matematika SMA
89
E. Latihan
1. Diketahui adalah sudut lancip memenuhi = − , tentukan nilai dari
, , dan
. 2. Dua buah theodolite diposisikan pada titik A dan B untuk mengukur tinggi
sebuah bukit, sepeti tampak pada gambar berikut :
Diketahui jarak dari A ke B adalah 5 km. Berapakah tinggi bukit tersebut ?
3. Tentukan nilai-nilai dari
− ° , °,
°, °, dan
°.
4. Tentukan nilai dari
° ∙ ° ∙
° ° ∙
° ∙ °
5. Jika
+ = °, buktikan bahwa
+ =
6. Dalam segitiga
sebarang, buktikan bahwa
+ +
+ +
+ =
+ +
7. Buktikan bahwa untuk
berlaku +
=
�
8. Buktikan bahwa
= ° −
9. Tentukan nilai dari
10. Sederhanakan bentuk
−
Puncak bukit
A B
33 20
t
5 km
90
F. Rangkuman
1. Fungsi Trigonometri Perhatikan gambar segitiga siku
– siku berikut.
Didefinisikan � =
� = � =
� = � =
� = 2. Sudut Istimewa
� °
° °
° °
� √
√ �
√ √
� √
√ Tak
terdefinisi �
Tak terdefinisi
√ √
� √
√ Tak
terdefinisi �
Tak terdefinisi
√ √
ϴ x
y r
Modul Pelatihan Matematika SMA
91
3. Sudut Berelasi
Berikut beberapa contoh sudut berelasi
° − � = �
° + � = �
° + � = − �
G. Umpan Balik dan Tindak Lanjut
Untuk mengetahui tingkat penguasaan anda, cocokkan jawaban dengan kunci jawaban pada bagian akhir kegiatan pembelajaran. Hitung jawaban benar anda,
kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi kegiatan pembelajaran ini.
Rumus Tingkat penguasaan=
Jumlah jawaban benar ×
Kriteria 90
– 100 = baik sekali 80
– 89 = baik 70
– 79 = cukup 70 = kurang
H. Kunci Jawaban
1. = − √ ,
= − , = √
2. ≈ ,
3. − ° = − ,
° = − √ , ° = ,
° = − √ , ° ≈ ,
4. 1 5. 0
6. Terbukti. 7.
�
8. Terbukti 9.
10.
− +
92
KB 3 : Identitas Trigonometri, Aturan Sinus dan Cosinus, serta Sifat MaksimumMinimum Fungsi
Trigonometri
A. Tujuan
- Menjelaskan identitas dasar trigonometri sebagai hubungan antara rasio trigonometri dan perannya dalam membuktikan identitas trigonometri lainnya
- Menjelaskan aturan sinus dan cosinus - Menggunakan sifat maksimumminimum fungsi untuk penyelesaian masalah
B. Indikator Pencapaian Kompetensi
Peserta diklat atau pembaca dapat menjelaskan identitas dasar trigonometri sebagai hubungan antara rasio trigonometri dan perannya dalam membuktikan identitas
trigonometri lainnya, dan dapat menjelaskan aturan sinus dan cosinus serta menggunakan sifat maksimumminimum fungsi untuk penyelesaian masalah
C. Uraian Materi
1. Identitas Trigonometri
Seperti kita ketahui sebelumnya bahwa ° = ,
° = √ , ° =
° = √ . Ini berakibat bahwa ° +
° = + = ° +
° = + = Selanjutnya yang menjadi pertanyaan adalah apakah bentuk di atas hanya
berlaku untuk sudut – sudut tertentu atau berlaku untuk sebarang sudut?
Perhatikan gambar berikut.
Modul Pelatihan Matematika SMA
93 A
B C
y
x r
Gambar 19 Segitiga siku
– siku
Dari rumus perbandingan trigonometri diperoleh � = ,
� = , � = ,
� = , � = ,
� Akibatnya diperoleh,
� = = =
� Analog dengan cara yang sama diperoleh
� = �
dan � =
� Selanjutnya diperhatikan,
� = = =
� �
Akibatnya diperoleh � =
� �
Perhatikan Gambar 31, dengan Dalil Pythagoras diperoleh � +
� = +
= +
= =
berakibat � +
� = Bentuk di atas disebut identitas trigonometri.
94
2. Aturan Sinus pada Segitiga
Diperhatikan segitiga berikut.
A
B C
a b
c h
Gambar 20 Segitiga ABC dengan tinggi h
Dengan rumus perbandingan trigonometri untuk sudut , diperoleh =
ℎ
atau ℎ = ∙
untuk sudut diperoleh =
ℎ
atau ℎ = ∙
Akibatnya diperoleh hubungan, ∙
= ∙ atau
= Analog dengan cara tersebut diperoleh aturan Sinus, yaitu
= =
Contoh Tentukan nilai .
30 45
2 a
Gambar 21 Segitiga lancip
Modul Pelatihan Matematika SMA
95
Jawab : Dengan aturan Sinus,
° = °
diperoleh, = ∙
° °
= ∙ √
= √
3. Aturan Cosinus pada Segitiga
Diperhatikan gambar berikut
H A
B C
a b
c h
Gambar 22 Segitiga ABC dengan tinggi h
Dengan rumus perbadingan trigonometri pada segitiga , diperoleh
=
ℎ
atau ℎ = ∙
dan =
�
atau = ∙
Selanjutnya, diperhatikan ∆ , diperoleh panjang
= −
= − ∙ dan panjang
= ℎ = ∙ .
Akibatnya, dengan Dalil Pythagoras diproleh
96
= +
= ∙
+ − ∙
= ∙
+ − ∙ ∙ .
+ . =
+ ∙
+ − ∙ ∙ .
= +
− ∙ ∙ . Akibatnya diperoleh aturan Cosinus
= +
− ∙ ∙ . Analog dengan cara yang sama diperoleh aturan Cosinus untuk sisisudut yang
lainnya, yaitu =
+ − ∙ ∙ ∙
, dan =
+ − ∙ ∙ ∙
Dari rumus aturan Cosinus diatas, kita dapat menentukan besar sudut suatu segitiga jika diketahui ketiga sisinya.
= + − ∙ ∙ ∙
. =
+ −
= +
−
Analog dengan cara yang sama diperoleh =
+ −
= +
−
Contoh soal Diketahui segitiga
, dengan panjang = ,
= , dan = . Tentukan
besar sudut .
Modul Pelatihan Matematika SMA
97
Jawab : =
+ −
∙ ∙
= +
− ∙ ∙
= Diperoleh
= ≈
, °
4. Luas Segitiga
Diketahui dua sisi dan satu sudut pada sebuah segitiga Perhatikan kembali Gambar 32. Panjang
ℎ = . sin . Akibatnya, = ∙
∙ ℎ = ∙ ∙ ∙
Jadi, diperoleh luas segitiga = ∙ ∙ ∙
Catatan : sudut merupakan sudut yang dibentuk oleh sisi – sisi yang
panjangnya dan . Selanjutnya analog dengan cara yang sama diperoleh rumus luas segitiga
= ∙ ∙ ∙ = ∙ ∙ ∙
Contoh soal Tentukan luas segitiga berikut.
98
30 22
20
Gambar 23 Segitiga dengan salah satu sudutnya
°
Jawab Diperhatikan bahwa, diketahui dua sisi, dan satu sudut yang diapit oleh kedua
sisi tersebut, maka, = ∙
∙ ∙
° = ∙
∙ ∙
= Jadi, luas segitiga tersebut adalah 110 satuan luas.
Diketahui satu sisi dan dua sudut Diperhatikan kembali Gambar 32. Dari rumus aturan Sinus
= =
diperoleh, =
atau = ∙ dan
= atau = ∙
Dengan rumus luas segitiga sebelumnya yang diketahui dua sisi dan satu sudut diperoleh
= ∙ ∙ ∙ sin = ∙ ∙
sin sin
∙ ∙
sin sin
∙ sin = ∙
∙ sin ∙ sin
sin
