92
KB 3 : Identitas Trigonometri, Aturan Sinus dan Cosinus, serta Sifat MaksimumMinimum Fungsi
Trigonometri
A. Tujuan
- Menjelaskan identitas dasar trigonometri sebagai hubungan antara rasio trigonometri dan perannya dalam membuktikan identitas trigonometri lainnya
- Menjelaskan aturan sinus dan cosinus - Menggunakan sifat maksimumminimum fungsi untuk penyelesaian masalah
B. Indikator Pencapaian Kompetensi
Peserta diklat atau pembaca dapat menjelaskan identitas dasar trigonometri sebagai hubungan antara rasio trigonometri dan perannya dalam membuktikan identitas
trigonometri lainnya, dan dapat menjelaskan aturan sinus dan cosinus serta menggunakan sifat maksimumminimum fungsi untuk penyelesaian masalah
C. Uraian Materi
1. Identitas Trigonometri
Seperti kita ketahui sebelumnya bahwa ° = ,
° = √ , ° =
° = √ . Ini berakibat bahwa ° +
° = + = ° +
° = + = Selanjutnya yang menjadi pertanyaan adalah apakah bentuk di atas hanya
berlaku untuk sudut – sudut tertentu atau berlaku untuk sebarang sudut?
Perhatikan gambar berikut.
Modul Pelatihan Matematika SMA
93 A
B C
y
x r
Gambar 19 Segitiga siku
– siku
Dari rumus perbandingan trigonometri diperoleh � = ,
� = , � = ,
� = , � = ,
� Akibatnya diperoleh,
� = = =
� Analog dengan cara yang sama diperoleh
� = �
dan � =
� Selanjutnya diperhatikan,
� = = =
� �
Akibatnya diperoleh � =
� �
Perhatikan Gambar 31, dengan Dalil Pythagoras diperoleh � +
� = +
= +
= =
berakibat � +
� = Bentuk di atas disebut identitas trigonometri.
94
2. Aturan Sinus pada Segitiga
Diperhatikan segitiga berikut.
A
B C
a b
c h
Gambar 20 Segitiga ABC dengan tinggi h
Dengan rumus perbandingan trigonometri untuk sudut , diperoleh =
ℎ
atau ℎ = ∙
untuk sudut diperoleh =
ℎ
atau ℎ = ∙
Akibatnya diperoleh hubungan, ∙
= ∙ atau
= Analog dengan cara tersebut diperoleh aturan Sinus, yaitu
= =
Contoh Tentukan nilai .
30 45
2 a
Gambar 21 Segitiga lancip
Modul Pelatihan Matematika SMA
95
Jawab : Dengan aturan Sinus,
° = °
diperoleh, = ∙
° °
= ∙ √
= √
3. Aturan Cosinus pada Segitiga
Diperhatikan gambar berikut
H A
B C
a b
c h
Gambar 22 Segitiga ABC dengan tinggi h
Dengan rumus perbadingan trigonometri pada segitiga , diperoleh
=
ℎ
atau ℎ = ∙
dan =
�
atau = ∙
Selanjutnya, diperhatikan ∆ , diperoleh panjang
= −
= − ∙ dan panjang
= ℎ = ∙ .
Akibatnya, dengan Dalil Pythagoras diproleh
96
= +
= ∙
+ − ∙
= ∙
+ − ∙ ∙ .
+ . =
+ ∙
+ − ∙ ∙ .
= +
− ∙ ∙ . Akibatnya diperoleh aturan Cosinus
= +
− ∙ ∙ . Analog dengan cara yang sama diperoleh aturan Cosinus untuk sisisudut yang
lainnya, yaitu =
+ − ∙ ∙ ∙
, dan =
+ − ∙ ∙ ∙
Dari rumus aturan Cosinus diatas, kita dapat menentukan besar sudut suatu segitiga jika diketahui ketiga sisinya.
= + − ∙ ∙ ∙
. =
+ −
= +
−
Analog dengan cara yang sama diperoleh =
+ −
= +
−
Contoh soal Diketahui segitiga
, dengan panjang = ,
= , dan = . Tentukan
besar sudut .