16
Tabel 4
−∞ ←
-1000 -100
-10 1
1 10
100 1000
→ ∞ ←
2,99999 7
2,9997 2,97
1, 5
1,5 2,97
2,999 7
2,99999 7
→
Dengan memperhatikan tabel 5 maka dapat ditarik kesimpulan bahwa →
untuk → ∞. Apabila dimaknai lebih lanjut, pernyataan menuju tak hingga → ∞
mengandung arti bahwa untuk setiap bilangan positip selalu ada nilai sehingga
. Demikian pula untuk menuju negatif tak hingga → −∞ mengandung arti bahwa untuk setiap bilangan negatif selalu ada nilai sehingga
. Berdasarkan pemaknaan ini maka disusun definisi formal untuk limit di tak hingga sebagai berikut.
Definisi di atas dapat diilustrasikan seperti gambar berikut.
Gambar 8 Limit di tak hingga
Misalkan suatu bilangan real maka yang dimaksud dengan lim
→∞
= adalah untuk setiap
terdapat sehingga jika berlaku | − |
. Demikian pula untuk
lim
→−∞
= artinya setiap
terdapat sehingga jika berlaku | − |
Modul Pelatihan Matematika SMA
17
Terlihat bahwa untuk setiap terdapat sehingga untuk maka grafik
berada diantara garis horisontal = + dan = − .
Contoh 5.1 a.
Tentukan hasil dari lim
→∞
Jawab: Fungsi
= dapat digambarkan sebagai berikut.
Gambar 9 Ketidakadaan limit
Bila dicermati maka tampak bahwa menuju 0 untuk menuju tak hingga. Jadi
dapat disimpulkan bahwa lim
→∞
= . Bukti bahwa lim
→∞
= untuk kegiatan aktifitas.
b. Dengan menggunakan sifat limit, tentukan lim
→∞ −
+
Jawab: lim
→∞
− +
= lim
→∞
− +
= lim
→∞
− −
=
18
= lim
→∞
− lim
→∞
lim
→∞
+ lim
→∞
= − lim
→∞
+ lim
→∞
= −
+ =
c. Tentukan
lim
→∞ + −
−
Jawab: Karena soal tersebut termasuk dalam bentuk
∞ ∞
maka pembilang dan penyebut dibagi
atau selengkapnya lihat bagian cara menyelesaikan limit. Untuk
pengerjaan di bawah, pembilang dan penyebit dibagi oleh .
lim
→∞
+ −
− = lim
→∞
+ −
−
= lim
→∞
+ −
− = lim
→∞
+ − −
= lim
→∞
+ lim
→∞
− lim
→∞
lim
→∞
− lim
→∞
= + − lim
→∞
− = −∞
Modul Pelatihan Matematika SMA
19
5. Strategi Sederhana dalam Menyelesaikan Limit
Strategi sederhana yang dimaksud disini adalah cara menyelesaikan persoalan limit dengan memanfaatkan teorema dan penjelasan-penjelasan pada bagian sebelumnya.
a. Limit fungsi
�
untuk menuju nilai tertentu → �, � ∈ �
1 Substitusi langsung pada fungsinya.
Misalkan ingin ditentukan hasil lim
→
. Jika tidak menemui hasil janggal
dalam arti tidak terdefinisi tidak tentu tak hingga, maka umumnya nilai limitnya adalah
. Cara ini sejatinya sekedar memanfaatkan kekontinyuan fungsi di titik . Namun cara ini perlu pencermatan lebih lanjut, karena bila
fungsinya tidak kontinyu maka cara ini tidak bisa digunakan. Jadi perlu kehati- hatian, walaupun
ada tetapi belum tentu berlaku lim
→
= Contoh 6.1:
a. lim
→
− −
= −
− =
− −
=
b. lim
→
√ −
+ + −
− −
= √ −
+ + −
− −
= √ + − =
Bedakan dengan contoh berikut
c. lim
→
√ −
− + −
− −
= √ −
− + −
− −
= √ + − ?
Tidak boleh dilanjutkan dengan cara tersebut karena memuat bentuk tak tentu .
d. Diberikan fungsi = {
− −
, ≠
, =
. Tentukan lim
→ −
−
20
Jelas bahwa = , tetapi lim
→ −
−
= . Jadi tidak berlaku lim
→ −
−
= walaupun
ada yaitu 0.
2 Pada bentuk rasional umumnya dapat disederhanakan.
Cara ini sesungguhnya sekedar mengubah bentuk rasional menjadi bentuk lain sehingga mempunyai faktor yang sama di pembilang dan penyebut. Faktor yang
sama ini selanjutnya dapat digunakan untuk merasionalkan penyebut. Faktor yang sama ini dapat pula hasil dari memfaktorkan pembilang
Contoh 6.2: lim
→
− −
= lim
→
− +
+ −
+ = lim
→
+ +
+ =
: −
= −
+ +
3 Substitusi memuat bentuk
�
dengan � ≠ .
Jika dengan substitusi memuat bentuk dengan ≠ , umumnya Namun
demikian, ada beberapa kasus walaupun memuat bentuk dengan ≠ tetapi
limitnya ada. Cara seperti ini sebenarnya hanya memanfaatkan kebiasaan orang menghindari bentuk .
Contoh 6.3: a . Tentukan lim
→ −
−
− Jawab:
Bila = disubstitusikan ke dalam fungsi maka
diperoleh
− −
− = − yaitu memuat bentuk dengan ≠ . Oleh karena
itu lim
→ −
−
− tidak ada. Sebagai gambaran untuk memperjelas grafik dari fungsi tersebut adalah
Modul Pelatihan Matematika SMA
21
Gambar 10 Ketidakadaan limit
Jadi lim
→ −
−
− tidak ada b . lim
→
− −
− −
Perhatikan bahwa limit tersebut memuat dengan ≠ yaitu
−
−
− −
= − yang memuat bentuk dan Meskipun memuat bentuk dan
, namun limitnya ada yaitu lim
→
− −
− −
= lim
→
− −
− −
= lim
→
− −
− = lim
→
− −
= lim
→
− −
− = −
Mengapa meskipun fungsi di atas memuat bentuk dengan ≠ tetapi
limitnya ada? Jawabannya adalah karena bentuk tersebut pada hakekatnya adalah bentuk
∞ − ∞ lihat strategi berikutnya.
4 Substitusi memuat bentuk .
Jika dengan substitusi memuat bentuk maka nilai limit dapat ditentukan dengan menyederhanakan atau menggunakan
teorema L hopital lihat sifat limit hanya pada bentuk yang memuat
tersebut. Cara ini sebenarnya hanya menggabungkan sifat-sifat limit. Perlu dicatat disini bahwa penggunaan teorema
tersebut, hanya sebatas penggunaan dulu, karena pembahasan teorema belum diberikan. Sebagai gambaran, mengingat sifat 1 dan sifat 6 maka
= −
− −
22
lim
→
√ + −
− = √lim
→
+ lim
→
− −
Perhatikan bahwa teorema L hopital dapat digunakan untuk bagian lim
→ −
−
saja, tidak perlu mulai dari
lim
→
√ +
− −
Contoh 6.4: a.
lim
→ −
−
memuat bentuk karena
− −
= . Jadi penyelesaiannya adalah lim
→
− −
= lim
→
− ′
− ′
= lim
→
= lim
→
=
b . lim
→
√
− −
+ −
� − �−
memuat bentuk hanya pada bagian
− −
. Secara
jelasnya bentuk tersebut adalah √ + −
� − �−
.
Perhatikan bagian dari lim
→
√
− −
+ −
� − �−
yang memuat bentuk yaitu
√ + −
� − �−
sehingga hanya bentuk ini yang perlu teorema L hopital .
Jadi lim
→
√
− −
+ −
� − �−
= lim
→
√
− ′
− ′
+ −
� − �−
= lim
→
√ −
+ −
− −
= lim
→
√ −
+ −
− −
= √ = √
