Strategi sederhana dalam menentukan hasil integral tak tentu
Modul Pelatihan Matematika SMA
45
= ∫ − ∫
= ∫ −
Selanjutnya, untuk daerah berikut, apakah untuk menghitung luas juga dilakukan pengurangan seperti cara sebelumnya?
Gambar 18 Contoh luas daerah antara dua kurva
Apakah = ∫
− ?
Sekarang coba perhatikan bila kedua fungsi di atas masing-masing ditambah sehingga luasannya di atas sumbu- .
Gambar 19 Contoh luas daerah antara dua kurva
Perhatikan bahwa menambahkan pada masing-masing fungsi tidak mengubah luas maupun absis titik potong kedua fungsi tersebut. Dengan demikian luas
L adalah luas daerah dibawah kurva
+ dikurangi luas daerah dibawah kurva +
dengan batas dan
. Atau dalam bentuk integral dinyatakan dengan = ∫
+ − ∫
+
46
Akibatnya, = ∫
+ − ∫
+ = ∫
+ −
+ = ∫
− Berarti luas daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup sederhana dimanapun letaknya
dapat ditentukan dengan cara menghitung integral tertentu hasil pengurangan kurva pertama oleh kurva kedua atau sebaliknya dengan batas-batas titik potongnya.
Sedangkan untuk kurva tertutup tidak sederhana, menentukan luas harus memperhatikan bagian-bagian luasannya
Contoh 7.1: a.
Berapa luas daerah yang dibatasi oleh =
, = − + dan sumbu-x ?
Jawab: Untuk daerah I sangat mudah ditentukan luasnya yaitu
= . Sedangkan
daerah II dihitung dengan menggunakan integral = ∫ − +
Gambar 20 Luas daerah pada dua luasan
Modul Pelatihan Matematika SMA
47
= −
+ |
= −
+ − −
+
= Sehingga,
+ = + =
b. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh =
− −
, = , dan = serta
sumbu-x.
Gambar 21 Luas daerah di bawah sumbu-x
Jawab: Untuk menentukan luas daerah yang diarsir, sama saja dengan menentukan hasil
dari ∫
− −
. ∫
− −
= ln − − ln + |
= ln
c. Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva
= − dan = +
Jawab: Ditentukan terlebih dahulu titik potongnya dalam hal ini adalah batas integralnya.
48
− = +
+ − = +
− = titik potongnya − , dan , .
Gambar 22 Luas daerah antara dua kurva
Luas daerah yang dimaksud adalah ∫
−
−
= ∫ − −
+
−
= − −
+ |
−
=