19
Jika digunakan notasi :
2.11
Maka persamaan 2.10 akan menjadi : 2.12
dimana konstanta G didefinisikan oleh persamaan 2.11, dan disebut
modulus elastisitas
dalam
geser modulus of elasticity in shear
atau
modulus kekakuan modulus of rigidity.
Apabila tegangan geser bekerja ke semua sisi elemen, seperti terlihat pada Gambar 2.4, pelentingan sudut antara dua sisi yang berpotongan hanya tergantung
kepada komponen tegangan geser yang bersangkutan dan diperoleh Timoshenko, S., 1958. :
2.6. Analogi Membran Elastis oleh Prandtl
Soap Film Analogy
Untuk pembahasan analogi membran ini, potonglah suatu bukaan pada potongan melintang dari elemen yang mengalami torsi untuk diselidiki.
Anggaplah bukaan ini ditutupi oleh sejenis membran elastis yang homogen, seperti selaput sabun, dan kerjakan suatu tekanan pada salah satu sisi membran.
Universitas Sumatera Utara
20
Gambar 2.9. Analogi Selaput Sabun Soap Film Analogy
Kemudian tinjaulah suatu elemen membran elastis
ABCD
dengan dimensi
dx dy
seperti ditunjukkan pada Gambar 2.9. Dengan menggunakan z sebagai besaran perpindahan lateral dari membran elastis, p adalah tekanan lateral dalam
gaya per satuan luas, dan
S
sebagai tegangan inisial dalam gaya per satuan panjang, maka gaya vertical murni yang diakibatkan oleh tegangan
S
yang bekerja sepanjang sisi
AD
dan
BC
dari membran dengan mengasumsikan perpindahan yang terjadi adalah sangat kecil sehingga nilai sin α ≈ tan α berturut-turut adalah
:
O x
y
O x
z
dy dx
A A
B C
D
S S
P
Universitas Sumatera Utara
21
Dengan cara yang sama akan diperoleh gaya vertikal murni yang diakibatkan oleh tegangan
S
yang bekerja sepanjang sisi
AB
dan
DC
berturut-turut adalah
Jika keempat gaya vertikal di atas dijumlahkan maka akan diperoleh persamaan membran untuk elemen
dx dy
adalah sebagai berikut
2.13
Persamaan 2.13 ini dikenal sebagai persamaan
Analogi Membran Prandtl
. Persamaan ini kemudian akan digunakan untuk menyelesaikan persamaan torsi untuk tampang persegi Erwin, 2009..
Universitas Sumatera Utara
22
2.7. Analisis Torsi Pada Tampang Sembarang Metode Semi-Invers Saint-
Venant
Gambar 2.10. Elemen Torsi dengan Tampang Sembarang Anggap suatu bahan yang mengalami torsi dengan suatu potongan
melintang seragam dari tampang sembarang seperti terlihat pada Gambar 2.10 Tegangan yang didistribusikan pada ujung-ujung yaitu
dan akan
menghasilkan torsi sebesar T. Pada umumnya, semua distribusi tegangan pada ujung potongan akan menghasilkan torsi.
Menurut Saint-Venant, distribusi tegangan pada potongan yang cukup jauh dari ujung bergantung hanya pada besar momen torsi dan tidak tergantung pada
distribusi tegangan pada ujungnya. Oleh karena itu, untuk suatu elemen torsi panjang, distribusi tegangan pada ujung tidak akan mempengaruhi distribusi pada
bagian makro dari elemen torsi. Metode Saint-Venant dimulai dengan suatu perkiraan komponen
perpindahan akibat torsi. Perkiraan ini didasarkan pada perubahan geometri yang terjadi pada elemen torsi yang terdeformasi. Saint-Venant mengasumsikan tiap
elemen torsi lurus dengan tampang tetap selalu memiliki suatu sumbu putar yang tegak lurus terhadap potongan melintangnya yang bertindak sebagai poros kaku
pada pusatnya. Dalam hal ini, poros diambil sejajar dengan sumbu
z
. y
x
z T
P P
β
Universitas Sumatera Utara
23
Tinjau suatu titik
P
dengan koordinat
x, y, z
dari pusat
O
sebelum mengalami deformasi. Setelah mengalami deformasi akibat torsi,
P
bergerak ke
P
’,
P
akan berpindah sejauh
w
sejajar sumbu
z
karena
warping
distorsi ke arah luar bidang dari potongan melintang dan berpindah sejauh
u
dan
v
sejajar sumbu
x
dan sumbu
y
karena rotasi dasar potongan melintang di mana
P
berada dengan sudut puntir sebesar
β terhadap poros. Sedangkan sudut puntir β ini bervariasi menurut jarak
z
dari poros. Dapat dituliskan bahwa d βd
z
sebagai suatu laju puntiran
. Maka pada jarak
z
dari pusat
O,
sudut puntir adalah sebesar β =
.
Gambar 2.11. Potongan Melintang Suatu Elemen Torsi
Dengan mengacu pada Gambar 2.11., diperoleh : [ ]
[ ]
dan
Universitas Sumatera Utara
24
[ ] [ ]
Untuk perpindahan yang sangat kecil, akan diperoleh nilai- nilai sin β = β dan cos
β = 1, maka :
Sedangkan untuk komponen
w
diambil :
Dimana adalah fungsi warping.
Setelah komponen perpindahan ini diperoleh, maka kita akan mensubstitusikan nilai-nilai
u
,
v
, dan
w
ke dalam persamaan 2.4 dan diperoleh:
[ ]
[ ]
[ ]
Tinjau kembali persamaan 2.3. Untuk komponen yang mengalami torsi murni,
, ,
, , , , sehingga dari
persamaan 2.3 didapatkan :
Universitas Sumatera Utara
25
Persamaan 2.15.a dan 2.15.b menunjukkan bahwa dan
tidak tergantung pada
z
dam komponen tegangan harus memenuhi persamaan 2.15.c. Oleh karena itu, diambil persamaan tegangan geser ini menjadi :
Kemudian kedua persamaan diatas disubstitusikan ke persamaan 2.15.c menjadi :
Hasil dari ruas kiri persamaan ini juga memberikan nilai nol, hal ini menunjukkan bahwa persamaan 2.16 yang diambil memenuhi persamaan
2.15.c.
Tinjau kembali persamaan 2.14. jika masing-masing dan
didiferensiasi parsial-kan terhadap
y
dan
x,
maka diperoleh :
Universitas Sumatera Utara
26
2.17.a 2.17.b
Jika persamaan 2.17.a dengan 2.17.b, maka akan diperoleh : 2.18
Substitusikan hubungan antara regangan geser dengan tegangan geser pada persamaan 2.4 ke dalam persamaan 2.18, maka akan diperoleh:
2.19 Maka didapatkan suatu persamaan yang kemudian akan kita kenal sebagai
persamaan torsi :
2.20 Persamaan 2.20 akan digunakan untuk menurunkan fungsi torsi dengan bantuan
persamaan analogi membran Prandtl yang telah diturunkan sebelumnya. Karena permukaan elemen torsi ini bebas dari gaya lateral, maka resultan
dari gaya geser τ pada potongan melintang dari elemen torsi pada keliling
potongan ini harus berarah tegak lurus terhadap garis normalnya. Kedua komponen tegangan geser
dan yang bekerja pada potongan melintang
dengan sisi-sisi
dx
,
dy
, dan
dx
dapat dinyatakan dengan :
Universitas Sumatera Utara
27
Gambar 2.12 Potongan Melintang Elemen Torsi
Dengan mengacu pada Gambar 2.12
2.21 Karena komponen tegangan geser pada arah
n
sesuai gambar pada keliling elemen harus bernilai nol, maka proyeksi
dan dalam arah normal adalah :
2.22
dy dx
α
s ds
α
R
O
S
dy y
O R
S
x y
y
x
Universitas Sumatera Utara
28
Maka didapat :
Dari penyelesaian ini menunjukkan bahwa nilai konstan di sepanjang keliling S.
Karena tegangan merupakan turunan partial dari , maka nilai kontan ini dapat
dianggap nol. Distribusi
dan pada potongan melintang yang dibahas harus
memenuhi ketiga persamaan berikut Erwin, 2009.: ∑
∫ ∫
2.23.a ∑
∫ ∫
2.23.b ∑
∫ ∫
2.23.c
2.8. Hubungan Momen Torsi dengan Fungsi Torsi
