28
Maka didapat :
Dari penyelesaian ini menunjukkan bahwa nilai konstan di sepanjang keliling S.
Karena tegangan merupakan turunan partial dari , maka nilai kontan ini dapat
dianggap nol. Distribusi
dan pada potongan melintang yang dibahas harus
memenuhi ketiga persamaan berikut Erwin, 2009.: ∑
∫ ∫
2.23.a ∑
∫ ∫
2.23.b ∑
∫ ∫
2.23.c
2.8. Hubungan Momen Torsi dengan Fungsi Torsi
Dengan menyelesaikan persamaan 2.23.c, maka akan diperoleh hubungan antara momen torsi dengan fungsi torsi. Ambillah salah satu komponen integral
dari persamaan 2.23.c. Karena fungsi tegangan tidak bervariasi dalam arah
y
untuk sebuah garis setebal
dy
seperti tampak pada Gambar 2.12. Turunan parsial dapat digantikan dengan suatu turunan total sehingga diperoleh :
∫ ∫ ∫
∫ | ∫
Mengingat nilai pada tepi-tepi elemen , maka diperoleh :
∫ ∫ ∫ ∫
Universitas Sumatera Utara
29
Langkah yang sama dilakukan untuk komponen lain dari integral pada persamaan 2.23.c sehingga diperoleh :
∫ ∫ ∫ ∫
Dengan menjumlahkan kedua komponen ini, maka diperoleh hubungan antara momen torsi dengan fungsi torsi yaitu Erwin, 2009. :
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ 2.24
2.9. Torsi pada Tampang Lingkaran
Gambar 2.13 Tampang Lingkaran Selama Diberi Puntir Tetap Pada gambar 2.13 ukuran dari permukaan tampang lingkaran selama diberi puntir
tetap. Diameter dan panjangnya juga tidak berubah dengan catatan bahwa sudut puntirnya kecil.
Cakram seperti Gambar 2.13.b akan mengikuti arah regangan. Ada putaran pada bagian bawah tampang terhadap bagian atas tampang membentuk sudut
, dimana
adalah besar putaran dari potongan
mn
terhadap ujung. Elemen persegi
abcd
dari pinggir cakram seperti pada Gambar 2.13.b., panjang sisinya tetap sama namun sudut pada pertemuan sisi dengan sisinya yang berubah. Elemen ini bisa
Universitas Sumatera Utara
30
disebut dalam keadaan geser murni dan besar dari regangan gesernya didapat
dari segitiga kecil cac’ :
Karena
c
’c membentuk lengkungan kecil dengan jari-jari
d2
sesuai dengan perbedaan
dalam sudut putaran dari dua tampang yang berdekatan, maka c’c
= d2
dan diperoleh
Untuk balok yang berputar karena torsi pada ujungnya, sudut puntirnya sebanding dengan panjang bentang dan besar
tetap. Besarnya sudut puntir persatuan panjang balok dinotasikan sebagai
θ. Lalu, dari persamaan 2.25 didapatkan :
Tegangan geser yang bekerja pada sisi-sisi elemen dan menghasilkan geser pada arah tersebut. Besar tegangan gesernya didapat dari persamaan 2.12 yaitu :
Karena
d2 = r
, maka dihasilkan :
Timoshenko 1958 menyatakan bahwa kesetimbangan bagian dari balok diantara bagian bawah dan potongan
mn
pada Gambar 2.13.a dapat disimpulkan bahwa tegangan geser yang tersebar pada tampang sama dengan nilai kopel dan
Universitas Sumatera Utara
31
berlawanan dengan momen torsi . Untuk tiap elemen pada luasan
dA
pada Gambar 2.13.c gaya gesernya yaitu
. Momen terhadap gaya tersebut adalah . Maka momen torsinya yaitu
∫ ∫
Dimana Momen inersia polar dari tampang lingkaran dengan
⁄ , maka:
Jika
v
merupakan sudut puntir maka :
Substitusikan persamaan 2.30 ke persamaan 2.28, sehingga :
2.10. Torsi pada Tampang Segi Empat
