Perumusan Model MODEL DINAMIKA PEDESAAN DAN PERKOTAAN

    j j K F r 3.2 dan  adalah laju depresiasi kapital, 1    . Kemudian tingkat upah dari kedua daerah tersebut tidak sama yakni daerah perkotaan produktivitas tenaga kerja marjinalnya sebagai berikut: E L F w   2 2 2  3.3 Bukti: lihat Lampiran 1. Sedangkan semua pekerjaan di daerah pedesaan diasumsikan menghasilkan output yang sama sehingga tingkat upah riil di daerah pedesaan ditentukan oleh produktivitas tenaga kerja rata-rata, bukan produktivitas tenaga kerja marjinal seperti pada daerah perkotaan. E L F w   1 1 1 3.4 Pendapatan bersih daerah j, Y j merupakan penjumlahan dari faktor-faktor produksi dalam perekonomian, yaitu tenaga kerja dan modal yang dinyatakan dengan E w E L w rK Y 2 1 1 1 1     2 2 2 2 L w rK Y   3.5 Diasumsikan bahwa tingkat utilitas utility level, j U t, pada daerah j bergantung pada tingkat konsumsi j C t dan tabungan bersih j S t. Fungsi utilitas utility functions, j U t, diberikan oleh persamaan j j j j j S C t U    , 1   j j   3.6 dengan j  dan j  berturut-turut adalah kecenderungan pada daerah j untuk mengonsumsi barang-barang dan untuk menabung. Masing-masing daerah mempunyai dua variabel keputusan, j C dan j S . Kendala pembiayaan diberikan oleh: j j j T S C   j = 1, 2 3.7 dengan j j j j K K Y T     3.8 di mana j T adalah pendapatan yang siap dibelanjakan oleh daerah j. Keputusan optimal konsumen yang merupakan solusi dari optimasi fungsi utilitas dengan kendala 3.7 adalah tunggal, yaitu: j j j T C   , j j j T S   j = 1, 2 3.9 Bukti: lihat Lampiran 2. Laju pertumbuhan modal daerah j diberikan oleh j j j K S dt dK   dengan menggunakan persamaan 3.8 dan 3.9 ke dalam persamaan di atas, diperoleh: j j j j j K Y dt dK     3.10 dengan j j j      Bukti: lihat Lampiran 3. Sistem ini terdiri atas 16 variabel endogen, j K , j F , j C , j S , j Y , j w , j U j=1,2, E , dan r . Untuk menentukan variabel-variabel endogen tersebut, langkah pertama adalah dengan menyubstitusikan persamaan 3.1 ke dalam persamaan berikut: r =    j j K F sehingga diperoleh E yang merupakan sebuah fungsi dari 1 K dan 2 K sebagai berikut: 2 1 1 2 2 1 K K K L K L t E    3.11 Bukti: lihat Lampiran 4. Dengan menyubstitusikan persamaan 3.4, 3.3, 3.2, 3.1, dan 3.11 ke dalam persamaan 3.5, maka akan diperoleh persamaan j Y , yaitu: E L L K K K K K L L K Y                          2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 L L L K K K K K L L K Y                         3.12 Bukti: lihat Lampiran 5, yang merupakan sebuah fungsi dari j K . Dari persamaan 3.12 dan 3.10 dinamika kedua variabel j K t ditentukan oleh sistem persamaan diferensial dua dimensi, yang merupakan persamaan dari model dinamika pertumbuhan ekonomi pedesaan dan perkotaan. 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 K E L L K K K K K L L K dt dK                                     2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 K L L L K K K K K L L K dt dK                                    3.13 Nilai-nilai dari semua variabel-variabel endogen pada setiap titik waktu dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan secara numerik menggunakan alat bantu perangkat lunak Mathematica.

3.2 Ekuilibrium Sistem Dinamik

Selanjutnya akan ditentukan nilai-nilai dari semua variabel-variabel endogen pada saat ekuilibrium dari sistem dinamik, yaitu persamaan diferensial 3.13. Ekuilibrium terjadi pada saat  dt dK j , sehingga dari persamaan 3.12, 3.13, maka diperoleh persamaan E L L K K K K K L L K                         2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 = 1 1 1   K 1 1 1   K 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 L L L K K K K K L L K                        = 2 2 2   K 2 2 2   K 3.14 Bukti: lihat Lampiran 6. Dengan menyubstitusikan j j j j K Y    dari persamaan 3.14 dan persamaan 3.8 ke persamaan 3.9 menghasilkan: j j j j K C    , j j K S  3.15 Bukti: lihat Lampiran 7. Persamaan tersebut menjelaskan bahwa pada saat ekuilibrium, tingkat konsumsi daerah j adalah proporsional dengan cadangan modal yang dimiliki daerah j, dan tingkat tabungan bersih daerah j adalah sama dengan cadangan modal yang dimiliki oleh daerah j. Dengan menyubstitusikan persamaan 3.15 ke dalam fungsi utilitas 3.6 diperoleh   j j j j j j j K K t U              . 3.16 Untuk menentukan j K pada saat ekuilibrium, dengan menggunakan persamaan 3.13. Ekuilibrium terjadi pada saat  dt dK j sehingga diperoleh persamaan 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 K E L L K K K K K L L K                                     2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 K L L L K K K K K L L K                                    3.17 Nilai-nilai dari semua variabel-variabel endogen pada saat ekuilibrium dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan 3.14 sampai dengan 3.17 melalui pendekatan secara numerik menggunakan alat bantu perangkat lunak Mathematica.