Perubahan Struktur Ekonomi Fungsi Produksi

perekonomian pertanian tradisional yang berpusat di daerah pedesaan menjadi sebuah perekonomian industri modern yang berorientasi pada pola kehidupan perkotaan.

2.4 Perubahan Struktur Ekonomi

Proses perubahan struktur sering disebut dengan proses alokasi. Pada dasarnya proses alokasi ini adalah hasil interaksi antara proses akumulasi di satu pihak, dengan proses perubahan pola konsumsi masyarakat yang timbul secara bersamaan dengan meningkatnya pendapatan per kapita di pihak lain. Interaksi ini pada akhirnya akan memberikan dampak berupa perubahan pada komposisi barang dan jasa yang diproduksi dan diperdagangkan. Dengan demikian, secara ringkas dapat dibuat suatu alat ukur untuk menilai apakah perekonomian suatu wilayah mengalami perubahan struktur atau tidak, yaitu dengan melihat: 1. Struktur permintaan domestik Dengan meningkatnya pendapatan per kapita, terjadi pula perubahan struktur permintaan domestik dalam bentuk menurunnya bagian pendapatan yang digunakan untuk mengkonsumsi bahan makanan. Penurunan konsumsi bahan makanan ini dikaitkan dengan hukum Engels yang menyatakan bahwa elastisitas permintaan terhadap perubahan pendapatan untuk bahan makanan adalah lebih kecil dari 1 in elastic, dengan demikian jika terjadi peningkatan pendapatan maka permintaan akan bahan makanan meningkat dengan persentase lebih rendah dari persentase peningkatan pendapatan per kapita. 2. Struktur produksi Perubahan struktur produksi yang terjadi pada saat perekonomian tumbuh biasanya ditunjukkan dengan semakin rendahnya peran sektor pertanian dalam perekonomian nasional, dan semakin tingginya peran sektor lain di luar sektor pertanian.

2.5 Fungsi Produksi

Dalam pembahasan fungsi produksi banyak digunakan fungsi homogen derajat pertama sebagaimana diungkapkan oleh Chiang dan Wainwright 2006. Ini sering dinyatakan sebagai fungsi homogen secara linear. Penerapan fungsi homogen secara linear pada fungsi produksi, misalnya: , 2.1 Apakah diterapkan pada tingkat mikro atau pun makro, asumsi matematik homogenitas linear akan sama dengan asumsi ekonomi mengenai hasil yang konstan terhadap skala, karena homogenitas linear berarti bahwa kenaikan semua input variabel bebas sebanyak kali lipat akan selalu menaikkan output nilai fungsi tepat sebesar kali lipat pula. Sifat-sifat khas yang memberi ciri fungsi produksi homogen secara linear adalah: Sifat 1: Jika fungsi produksi homogen secara linear , , rata-rata produk buruh secara fisik , dan rata-rata produk modal secara fisik , maka dapat dinyatakan sebagai fungsi dari rasio modal – buruh, saja. Untuk membuktikan ini kalikanlah setiap variabel bebas pada 2.1 dengan suatu faktor . Dengan pembuktian-pembuktian homogenitas linear, hal ini akan mengubah output dari menjadi . Ruas kanan dari 2.1 dengan sendirinya akan menjadi , , , Karena variabel-variabel dan pada fungsi semula harus diganti secara berturut-turut dengan dan l sebagai akibatnya ruas kanan menjadi fungsi rasio modal buruh saja, katakan k, yang merupakan fungsi dengan argumen tunggal , meskipun dua variabel bebas dan sebenarnya terlibat dalam argumen tersebut. Dengan menyamakan kedua ruas kita dapatkan 2.2 Ekspresi untuk APP K akan diperoleh menjadi 2.3 Karena kedua rata-rata produk tergantung pada saja, homogenitas linear menerangkan bahwa selama rasio tetap konstan apapun tingkat absolut dan , rata-rata akan menjadi konstan juga. Oleh karena itu, sementara fungsi produksi homogen berderajat satu, dan adalah homogen derajat nol pada variabel-variabel dan . Karena perubahan proporsional yang sama dalam dan dengan mempertahankan konstanta tidak akan mengubah besaran rata-rata produk. Sifat 2: Bila diberikan fungsi produksi homogen secara linear , , maka produk marjinal secara fisik dan dapat dinyatakan sebagai fungsi saja. Untuk mendapatkan produk marjinal, mula-mula dituliskan produk total sebagai yang menurut persamaan 2.2 menjadi:  2.4 dan kemudian didiferensiasikan terhadap dan . Untuk tujuan ini, kita akan memperoleh dua hasil sebagai berikut: 2.5 Hasil diferensiasinya adalah ′ ′ 2.6 ′ ′ ′ 2.7 yang sesungguhnya menunjukkan bahwa dan merupakan fungsi saja. Seperti produk rata-rata, produk marjinal akan tetap sama selama rasio modal buruh dipertahankan konstan, mereka adalah homogen berderajat nol pada variabel dan . Sifat 3 Dalil Euler Bila , homogen secara linear, maka Bukti: ′ ′ ′ ′ ; Hasil ini valid untuk setiap nilai dan . Itu sebabnya mengapa sifat ini dapat ditulis sebagai kesamaan identik. Apa yang dinyatakan oleh sifat ini adalah bahwa nilai sebuah fungsi yang homogen secara linear selalu dapat dinyatakan sebagai suatu penderivatif parsial orde pertama terhadap variabel itu, tanpa memperhatikan besarnya kedua input yang sungguh-sungguh digunakan. Tetapi hendaknya berhati-hati untuk membedakan antara identitas Dalil Euler yang hanya diterapkan pada hasil yang konstan terhadap kasus skala dari , dan persamaan diferensial total , untuk setiap fungsi , . Secara ekonomi, sifat ini berarti bahwa pada kondisi hasil yang konstan terhadap skala, bila setiap faktor input dibayar sesuai dengan jumlah produk marjinalnya. Produk total akan sepenuhnya terbagi di antara semua faktor input atau secara ekuivalen keuntungan ekonomi yang murni akan nol. Karena situasi ini merupakan gambaran ekuilibrium jangka panjang pada persaingan murni. Pernah dianggap bahwa hanya fungsi produksi yang homogen secara linear yang akan mempunyai arti ekonomi. Keuntungan ekonomi sebesar nol dalam ekuilibrium jangka panjang itu merupakan hasil kekuatan persaingan melalui masuk dan keluarnya perusahaan, tanpa memperhatikan sifat fungsi produksi khusus yang sungguh-sungguh berlaku. Jadi tidaklah diharuskan untuk mempunyai fungsi produksi yang menjamin pemakaian produk untuk masing- masing keseluruhan pasangan , . Selanjutnya pada kondisi persaingan tidak sempurna dalam pasar faktor produksi, pemberian balas jasa kepada faktor produksi bisa tidak sama dengan produk marjinal, yang akibatnya dalil Euler menjadi tidak relevan untuk gambaran tentang distribusinya. Namun fungsi produksi yang homogen secara linear sering kali sesuai untuk digunakan karena didukung oleh adanya berbagai sifat matematikanya yang baik. Fungsi Produksi Cobb-Douglas Salah satu bentuk khusus fungsi produksi yang dipakai secara luas dalam analisis ekonomi adalah fungsi produksi Cobb-Douglas: 2.8 di mana adalah konstanta positif dan  adalah pecahan positif. Apa yang mula- mula kita perhatikan di sini adalah sebuah versi umum fungsi tersebut yaitu: 2.9 di mana  adalah pecahan positif lainnya yang dapat sama dengan atau tidak sama dengan 1- . Beberapa ciri utama dari fungsi ini adalah: 1 homogen berderajat +; 2 dalam kasus +=1, fungsi tersebut adalah fungsi homogen secara linear; 3 isokuannya mempunyai kemiringan yang negatif dan cembung sempurna untuk setiap nilai positif dari dan ; dan 4 kuasi cekung sempurna untuk nilai dan yang positif. Homogenitasnya dapat dilihat dengan mudah dari kenyataan bahwa dengan mengubah dan menjadi dan , outputnya akan berubah menjadi yaitu fungsi tersebut adalah homogen berderajat +. Dalam hal +=1 terjadi hasil konstan terhadap skala, karena fungsinya adalah homogen secara linear tapi harus diingat bahwa fungsi ini bukan fungsi linear. Oleh karena itu akan membingungkan dengan menyebutnya sebagai fungsi “homogen linear” atau “linear dan homogen”. Bahwa isokuannya mempunyai kemiringan yang negatif dan kecembungan sempurna dapat dibuktikan dengan melihat tanda dari derivatif dan atau tanda dari dan . Untuk setiap nilai output positif , persamaan 9 dapat dinyatakan sebagai , , , Dengan mengambil logaritma asli dari kedua sisi persamaan tersebut dan mengubah urutannya, kita peroleh yang secara implisit mendefinisikan sebagai fungsi . Oleh karenanya, dengan aturan fungsi implisit dan aturan log, kita peroleh hasil sebagai berikut: Jika demikian halnya, maka Tanda dari derivatif-derivatif ini menghasilkan isokuan setiap isokuan dengan kemiringan yang menurun dan cembung pada bidang untuk nilai-nilai dan yang positif. Hal ini tentu saja hanya dapat diperoleh dari fungsi yang kuasi mutlak untuk dan yang positif. Untuk fungsi dengan ciri kuasi kecekungan sempurna. Sekarang kita periksa kasus +=1 fungsi Cobb-Douglas yang sebenarnya, untuk membuktikan ketiga syarat dan homogenitas linear seperti yang disebutkan sebelumnya. Pertama, produk total dalam kasus khusus ini dapat dinyatakan sebagai 2.10 di mana ekspresi adalah suatu versi khusus dari ekspresi umum k yang digunakan sebelumnya. Oleh karena itu produk rata-ratanya adalah 2.11 dan keduanya sekarang juga merupakan fungsi dari saja. Kedua, diferensiasi dari menghasilkan produk marjinal: 2.12 dan fungsi-fungsi ini juga hanya merupakan fungsi dari saja. Selanjutnya dapat dibuktikan dalil Euler dengan menggunakan 2.12 sebagai berikut: Arti ekonomi yang menarik dapat diberikan pada pangkat  dan 1- pada fungsi produksi Cobb-Douglas yang homogen secara linear. Jika setiap input dianggap senilai dengan produk marjinalnya, maka bagian relatif dari produk total terhadap modal akan menjadi Dengan cara yang sama, bagian relatif tenaga kerja menjadi Jadi pangkat setiap variabel input menunjukkan bagian relatif dari input tersebut terhadap produk total. Di sisi lain, kita juga dapat mengartikan pangkat dari setiap variabel input sebagai elastisitas parsial output terhadap input tersebut. Hal ini adalah karena persamaan bagian modal tersebut di atas adalah sama dengan persamaan QKQK ≡  QK dan dengan cara yang sama persamaan bagian tenaga kerja di atas adalah sama dengan  QL . Untuk nilai dan yang tertentu, besaran konstanta akan mempengaruhi tingkat secara proporsional. Oleh karena itu dapat dianggap sebagai parameter efisiensi, yaitu sebagai indikator dari tingkat teknologi. Menurut Soekartawi 1994, Returns to Scale RTS perlu diketahui untuk melihat apakah kegiatan produksi tersebut mengikuti kaidah increasing, constant, atau decreasing returns to scale. Kalau persamaan 2.9 dipakai untuk menjelaskan hal ini maka jumlah besaran elastisitas  dan  kemungkinannya ada tiga alternatif yaitu: 1. Decreasing return to scale, bila  +  1. Dalam keadaan demikian dapat diartikan bahwa proporsi penambahan faktor produksi melebihi proporsi penambahan produksi. Misalnya, bila penggunaan produksi ditambah 25 , maka produksi akan bertambah sebesar 15. 2. Contstant return to scale, bila  +  = 1. Dalam keadaan demikian dapat diartikan bahwa proporsi penambahan faktor produksi akan proporsional dengan proporsi penambahan produksi. Misalnya, bila penggunaan produksi ditambah 25 , maka produksi akan bertambah sebesar 25. 3. Increasing return to scale, bila  +  1. Dalam keadaan demikian dapat diartikan bahwa proporsi penambahan faktor produksi kurang dari proporsi penambahan produksi. Misalnya, bila penggunaan produksi ditambah 10 , maka produksi akan bertambah sebesar 20. Dalam penelitian ini menggunakan Contstant return to scale yakni +=1. Dalam keadaan seperti ini, walaupun input ditambah pada tingkatan tertentu, maka tambahan produksi dapat dihitung dengan mudah. Misalnya, kalau faktor produksi ditambah dua kali, maka: 2 di mana dan +=1. Dengan demikian, bila faktor produksi K dan L ditambah n kali, maka produksi juga akan bertambah n kali.

2.6 Ekuilibrium