Model Pertumbuhan Ekonomi TINJAUAN PUSTAKA
Ini sering dinyatakan sebagai fungsi homogen secara linear. Penerapan fungsi homogen secara linear pada fungsi produksi, misalnya:
, 2.1
Apakah diterapkan pada tingkat mikro atau pun makro, asumsi matematik homogenitas linear akan sama dengan asumsi ekonomi mengenai hasil yang
konstan terhadap skala, karena homogenitas linear berarti bahwa kenaikan semua input variabel bebas sebanyak kali lipat akan selalu menaikkan output nilai
fungsi tepat sebesar kali lipat pula. Sifat-sifat khas yang memberi ciri fungsi produksi homogen secara linear
adalah:
Sifat 1:
Jika fungsi produksi homogen secara linear , , rata-rata produk buruh
secara fisik , dan rata-rata produk modal secara fisik
, maka dapat dinyatakan sebagai fungsi dari rasio modal – buruh,
saja.
Untuk membuktikan ini kalikanlah setiap variabel bebas pada 2.1 dengan suatu faktor
. Dengan pembuktian-pembuktian homogenitas linear, hal ini akan mengubah output dari menjadi
. Ruas kanan dari 2.1 dengan sendirinya akan menjadi
, ,
, Karena variabel-variabel dan pada fungsi semula harus diganti secara
berturut-turut dengan dan l sebagai akibatnya ruas kanan menjadi fungsi rasio modal buruh saja, katakan
k, yang merupakan fungsi dengan argumen tunggal , meskipun dua variabel bebas dan sebenarnya terlibat dalam
argumen tersebut. Dengan menyamakan kedua ruas kita dapatkan 2.2
Ekspresi untuk APP
K
akan diperoleh menjadi 2.3
Karena kedua rata-rata produk tergantung pada saja, homogenitas linear menerangkan bahwa selama rasio tetap konstan apapun tingkat absolut dan
, rata-rata akan menjadi konstan juga. Oleh karena itu, sementara fungsi produksi homogen berderajat satu,
dan adalah homogen derajat nol
pada variabel-variabel dan . Karena perubahan proporsional yang sama dalam dan dengan mempertahankan konstanta tidak akan mengubah besaran
rata-rata produk.
Sifat 2:
Bila diberikan fungsi produksi homogen secara linear , , maka produk
marjinal secara fisik dan
dapat dinyatakan sebagai fungsi saja. Untuk mendapatkan produk marjinal, mula-mula dituliskan produk total
sebagai yang menurut persamaan 2.2 menjadi:
2.4 dan kemudian didiferensiasikan terhadap dan . Untuk tujuan ini, kita akan
memperoleh dua hasil sebagai berikut: 2.5
Hasil diferensiasinya adalah
′ ′
2.6
′ ′
′
2.7 yang sesungguhnya menunjukkan bahwa
dan merupakan fungsi
saja.
Seperti produk rata-rata, produk marjinal akan tetap sama selama rasio modal buruh dipertahankan konstan, mereka adalah homogen berderajat nol pada
variabel dan .
Sifat 3 Dalil Euler
Bila , homogen secara linear, maka
Bukti:
′ ′
′ ′
;
Hasil ini valid untuk setiap nilai dan . Itu sebabnya mengapa sifat ini dapat ditulis sebagai kesamaan identik. Apa yang dinyatakan oleh sifat ini adalah
bahwa nilai sebuah fungsi yang homogen secara linear selalu dapat dinyatakan sebagai suatu penderivatif parsial orde pertama terhadap variabel itu, tanpa
memperhatikan besarnya kedua input yang sungguh-sungguh digunakan. Tetapi hendaknya berhati-hati untuk membedakan antara identitas
Dalil Euler yang hanya diterapkan pada hasil yang konstan terhadap kasus skala dari
, dan persamaan diferensial total , untuk
setiap fungsi , .
Secara ekonomi, sifat ini berarti bahwa pada kondisi hasil yang konstan terhadap skala, bila setiap faktor input dibayar sesuai dengan jumlah produk
marjinalnya. Produk total akan sepenuhnya terbagi di antara semua faktor input atau secara ekuivalen keuntungan ekonomi yang murni akan nol. Karena situasi
ini merupakan gambaran ekuilibrium jangka panjang pada persaingan murni. Pernah dianggap bahwa hanya fungsi produksi yang homogen secara linear yang
akan mempunyai arti ekonomi. Keuntungan ekonomi sebesar nol dalam ekuilibrium jangka panjang itu merupakan hasil kekuatan persaingan melalui
masuk dan keluarnya perusahaan, tanpa memperhatikan sifat fungsi produksi