Model Pertumbuhan Ekonomi TINJAUAN PUSTAKA

Ini sering dinyatakan sebagai fungsi homogen secara linear. Penerapan fungsi homogen secara linear pada fungsi produksi, misalnya: , 2.1 Apakah diterapkan pada tingkat mikro atau pun makro, asumsi matematik homogenitas linear akan sama dengan asumsi ekonomi mengenai hasil yang konstan terhadap skala, karena homogenitas linear berarti bahwa kenaikan semua input variabel bebas sebanyak kali lipat akan selalu menaikkan output nilai fungsi tepat sebesar kali lipat pula. Sifat-sifat khas yang memberi ciri fungsi produksi homogen secara linear adalah: Sifat 1: Jika fungsi produksi homogen secara linear , , rata-rata produk buruh secara fisik , dan rata-rata produk modal secara fisik , maka dapat dinyatakan sebagai fungsi dari rasio modal – buruh, saja. Untuk membuktikan ini kalikanlah setiap variabel bebas pada 2.1 dengan suatu faktor . Dengan pembuktian-pembuktian homogenitas linear, hal ini akan mengubah output dari menjadi . Ruas kanan dari 2.1 dengan sendirinya akan menjadi , , , Karena variabel-variabel dan pada fungsi semula harus diganti secara berturut-turut dengan dan l sebagai akibatnya ruas kanan menjadi fungsi rasio modal buruh saja, katakan k, yang merupakan fungsi dengan argumen tunggal , meskipun dua variabel bebas dan sebenarnya terlibat dalam argumen tersebut. Dengan menyamakan kedua ruas kita dapatkan 2.2 Ekspresi untuk APP K akan diperoleh menjadi 2.3 Karena kedua rata-rata produk tergantung pada saja, homogenitas linear menerangkan bahwa selama rasio tetap konstan apapun tingkat absolut dan , rata-rata akan menjadi konstan juga. Oleh karena itu, sementara fungsi produksi homogen berderajat satu, dan adalah homogen derajat nol pada variabel-variabel dan . Karena perubahan proporsional yang sama dalam dan dengan mempertahankan konstanta tidak akan mengubah besaran rata-rata produk. Sifat 2: Bila diberikan fungsi produksi homogen secara linear , , maka produk marjinal secara fisik dan dapat dinyatakan sebagai fungsi saja. Untuk mendapatkan produk marjinal, mula-mula dituliskan produk total sebagai yang menurut persamaan 2.2 menjadi:  2.4 dan kemudian didiferensiasikan terhadap dan . Untuk tujuan ini, kita akan memperoleh dua hasil sebagai berikut: 2.5 Hasil diferensiasinya adalah ′ ′ 2.6 ′ ′ ′ 2.7 yang sesungguhnya menunjukkan bahwa dan merupakan fungsi saja. Seperti produk rata-rata, produk marjinal akan tetap sama selama rasio modal buruh dipertahankan konstan, mereka adalah homogen berderajat nol pada variabel dan . Sifat 3 Dalil Euler Bila , homogen secara linear, maka Bukti: ′ ′ ′ ′ ; Hasil ini valid untuk setiap nilai dan . Itu sebabnya mengapa sifat ini dapat ditulis sebagai kesamaan identik. Apa yang dinyatakan oleh sifat ini adalah bahwa nilai sebuah fungsi yang homogen secara linear selalu dapat dinyatakan sebagai suatu penderivatif parsial orde pertama terhadap variabel itu, tanpa memperhatikan besarnya kedua input yang sungguh-sungguh digunakan. Tetapi hendaknya berhati-hati untuk membedakan antara identitas Dalil Euler yang hanya diterapkan pada hasil yang konstan terhadap kasus skala dari , dan persamaan diferensial total , untuk setiap fungsi , . Secara ekonomi, sifat ini berarti bahwa pada kondisi hasil yang konstan terhadap skala, bila setiap faktor input dibayar sesuai dengan jumlah produk marjinalnya. Produk total akan sepenuhnya terbagi di antara semua faktor input atau secara ekuivalen keuntungan ekonomi yang murni akan nol. Karena situasi ini merupakan gambaran ekuilibrium jangka panjang pada persaingan murni. Pernah dianggap bahwa hanya fungsi produksi yang homogen secara linear yang akan mempunyai arti ekonomi. Keuntungan ekonomi sebesar nol dalam ekuilibrium jangka panjang itu merupakan hasil kekuatan persaingan melalui masuk dan keluarnya perusahaan, tanpa memperhatikan sifat fungsi produksi