99
Bab XI. Fungsi Gamma dalam termodinamika
11.1. Fungsi Gamma fungsi Faktorial
Dapat didefinisikan sebagai A. Integral tertentu
1dt
z t
t e
z
Rez0 B. Limit tak hingga
......... 2
1 .
1 .........
3 .
2 .
1 lim
n z
z z
z z
n n
n n
z
Bukti:
n
dt z
t n
n t
n z
F 1
1 ,
n dt
z t
n n
t n
n dt
z t
n n
t n
n z
F n
1 1
lim 1
1 lim
, lim
Diketahui : t
e n
n t
n
1
lim Bukti:
Ambil :
A n
n t
n
1 lim
, dikalikan ln sehingga menjadi
n t
n n
m n
t n
A 1
ln lim
1 ln
lim ln
1 ln
1 1
ln 1
1 ln
lim
t
n m
n t
n
TD
100 Memakai Metode Lophital
n t
t n
n n
t n
t n
n n
t n
A 1
lim 2
1 2
1 1
lim 1
1 ln
lim ln
t t
t t
A
1 1
ln
t
e A
Jadi
t e
n n
t n
1 lim
Kasus khusus untuk t = -1 maka
e n
n n
e n
n n
1 1
lim 1
1 1
lim
Kembali ke definisi I
1 1
, dt
z t
n n
t n
z F
1dt
z t
t e
z
terbukti
Kembai ke definisi II
n
dt z
t n
n t
n z
F 1
1 ,
Misal
nu t
n t
u
ndu dt
101 Syarat batas
1 1
u
t
1
2 2
u
n t
ndu nu
u n
z F
z n
1 1
1 ,
du u
n n
u
z z
n 1
1 1
1
1
z u
d u
n du
u u
n
z n
z z
n z
1
1 1
1 1
1
1
z n
z
u d
u z
n
Memakai Metode Integral Parsial
qdp q
p pdq
.
8 1
1 u
d u
n
n
u p
1
z
u d
dq
du u
n dp
n 1
1
z
u q
1 1
1 1
1 .
. 1
1 du
u n
u u
u u
d u
n z
z n
z n
1
1 1
1 1
1 1
1 z
u d
u n
du u
u n
z n
z n
Kembali memakai integral parsial
1
1
n
u p
1
z
u d
dq
du u
n dp
n 2
1 1
1
z
u q
1 1
2 1
1 1
1
1 1
. .
1 1
1 du
u n
u u
u z
n u
d u
n z
z n
z n
1 1
1 1
1 du
u u
n z
n
z z
n
1 1
2 2
2 .
1 1
1 1
z u
d u
z n
n u
d u
z n
z n
.... dan seterusnya maka :
102
1
1 ,
z n
z
u d
u z
n n
z F
n z
z z
n n
n z
n ...
2 1
1 .
2 .
3 ...
2 1
n z
z z
z n
n n
n n
z F
z
... 2
1 .
. 1
2 ...
3 .
2 .
1 ,
Jadi
n z
z z
z z
n n
n n
n z
... 2
1 .
1 2
... 3
. 2
. 1
lim
terbukti Selanjutnya kita bisa mencari hubungan rekursinya Fungsi GammaFungsi Faktorial
n z
z z
z z
n n
n n
n z
... 2
1 .
. 1
2 ...
3 .
2 .
1 lim
n z
n z
z z
z z
n n
n n
z
1
... 3
2 1
1 1
... 3
. 2
. 1
lim 1
n z
z z
z z
z n
n n
n z
z n
n
...
3 2
1 .
. 1
... 3
. 2
. 1
. 1
. lim
n z
z z
z z
n n
n n
n z
z n
n
... 2
1 .
. 1
... 3
. 2
. 1
lim .
1 .
lim
z z
z
1
Fungsi Gamma merupakan fungsi faktorial untuk harga
1
z
bilangan bulat
1 ...
3 .
2 .
1 .
. 1
... 3
. 2
. 1
lim 1
n
n z
n n
n n
1 lim
n n
n 1
1
103
2 1
. ...
4 .
3 .
2 2
. .
1 ...
3 .
2 .
1 lim
2
n
n n
n n
n n
2 3
2 2
lim 2
1 2
lim
n
n n
n n
n n
n
1 1
2
3 2
1 1
... 5
. 4
. 3
3 .
1 ...
3 .
2 .
1 lim
3
n
n n
n n
n n
n n
3 2
1 3
lim .
2 .
1 3
n n
n n
n
2 2
2 .
1 3
4 3
2 1
... 6
. 5
. 4
4 .
. 1
... 5
. 4
. 3
. 2
. 1
lim 4
n n
n n
n n
n n
n
4 3
2 1
4 lim
. 3
. 2
. 1
n
n n
n n
n
3 3
. 2
. 1
4
Jadi
1 z
z z
z
11.2. Latihan Soal
1. Buktikanlah bahwa:
1dt
z t
t e
z
dapat ditulis:
a.
1 2
2 dy
z y
y e
z
b.
1 1
1 ln
dy y
z
z
104
Jawab :
a.
1 2
2 1
2
2
dy z
y y
e dt
t t
e z
misal
ydy dt
y t
2
2
2
1 2
2
ydy z
y y
e z
1
2 2
2
dy z
y y
e z
, terbukti
b.
1 1
2 1
ln 1
dy y
dt z
tt e
z
misal
y y
y t
ln ln
1 ln
1
t
e y
t y
y t
ln
ln dt
e dy
t
dy dt
e
t
Syarat batas:
1
1 1
e y
t
1 2
2
e
e y
t
1dt
z tt
e z
1dt
z t
t e
z
1
1
. 1
ln dy
y
z
1 1
1 ln
dy y
z
z
, terbukti
105 2. Diketahui bahwa:
z z
z
sin 1
, untuk 0z1.
Buktikanlah bahwa
2
1
Jawab:
90
sin 2
1 sin
2 1
1 2
1 2
1 z
2
2 1
2
1 2
1
, terbukti
3. Diketahui bahwa
z z
z
1
1
z
z z
z z
z 1
Maka
1 1
1 1
1 1
1 n n
, n = bilangan bulat negatif
Lalu didapat
z z
z z
sin
106 4.
Berdasarkan soal no. 2 dan 3, kita dapat mencari hubungan rekursi fungsi gamma fungsi faktorial pecahan
2 1
. Tentukanlah: a.
2 3
2 1
c. 2
7 2
5
e.
2 3
2 5
b.
2 5
2 3
d. 2
1 2
3
Jawab
a.
z z
z z
z z
1 1
1
z
z z
z z
z 1
2 1
2 1
1 2
1 1
2 1
z z
2 1
2 1
2 1
2 2
1 2
2 1
2 2
1
z z
z 1
Untuk
2 3
z
2 2
1 2
2 1
1 2
1 2
1
107 b.
z z
z 1
untuk
2 1
3 2
2 3
1 2
3 2
3 2
3
z
3 4
2 3
2 2
3
c.
z z
z 1
untuk
2 3
5 2
2 5
2 3
2 5
2 5
z
15 8
3 4
5 2
2 5
d.
z z
z 1
z z
z
1
Untuk
2
1 2
1 2
1 2
3 2
1
z
e.
z z
z
1
untuk
2 1
2 3
2 3
2 3
2 5
2 3
z
4 3
2 5
108 5.
Dari soal no.4, gambarkanlah sketsa fungsi gammafungsi faktorial
Jawab:
Dari soal no.4 didapatkan :
2 2
3 2
1
3 4
2 5
2 3
15 8
2 7
2 5
~
z
untuk
1
z
, z = bilangan bulat negatif
2 1
2 1
2 1
2 1
2 3
4 3
2 3
2 5
, dan seterusnya
1 2
3 4
-2 -1
-3 -4
-5 z
z
3 4
15
8
2
109
11.3. Pekerjaan rumah
Kategori