TEOREMA LINDELOF RUANG TERPISAH

Ruang Kontabel Kedua Ruang Terhitung Kedua Second Countable Spaces Ruang topologi , � disebut ruang topologi kedua bila memenuhi aksioma berikut yang disebut aksioma kedua dari kontabilitas, yaitu:  Ada basis kontabel � untuk topologi . Perhatikan bahwa kontabilitas kedua adalah keseluruhan dari sifat suatu local dari ruang topologi. Contoh: 1. Jika X terbatas dari masing � pada X yang terbatas maka X,T merupakan ruang dihitung kedua dan X,T merupakan ruang dihitung pertama. Dengan diberikan S adalah sub base dari T sehingga merupakan countable maka juga countable. Oleh karena itu X,T merupakan ruang dihitung kedua karena setiap basis lokal juga dapat dihitung sehingga X,T juga merupakan dihitung pertama. 2. Kelas � dari interval buka-interval buka a,b dengan titik-titik akhir rasinal yaitu , adalah kontabel dan merupakan basis untuk topologi pada garis real R sehingga R adalah ruang kontabel kedua yaitu R memenuhi aksioma kedua. 3. Perhatikan topologi diskrit kedua D pada garis real R. Ingat kembali bahwa kelas � adalah basis untuk topologi diskrit bila dan hanya bila � terdiri dari semua set singleton. Tetapi T dan kelas dari subset-subset singleton { } dari R adalah tidak kontabel, sehingga R,D tidak memenuhi aksioma kedeua dari kontabilitas. Selanjutnya, bila � basis kontabel untuk suatu ruang X dan bila � memuat anggota dari � yang memuat maka � adalah basis lokal kontabel pada p. Dengan kata lain dikemukakan teorema:  Setiap ruang kontabel kedua adalah ruang kontabel pertama Sebaliknya, garis real R dengan topologi diskrit tidak memenuhi aksioma kedua menurut contoh 2 pada bagian B tentang kontabel kedua diatas tetapi memenuhi aksioma pertama pada bagian A tentang kontabel pertama, sehingga konvers dari teorema 2 adalah benar.

6.2. TEOREMA LINDELOF

Sebelumnya ada beberapa istilahpengertian berikut: 1. Bila dan � adalah kelas dari subset-subset dari X sedemikian hingga { : �} maka � disebut sampul cover dari A atau � disebut sampul A . 2. Bila anggota-anggota dari � adalah subset buka dari X maka � disebut sampul buka dari A. 3. Bila � memuat sampul dari A maka � disebut tereduksi ke suatu sampul kontabel terhingga atau � disebut memuat sampul bagian yang kontabel terhingga. Ruang kontabel kedua termuat di dalam kedua teorema berikut:  Bila A subset dari ruang kontabel kedua X maka tiap sampul buka A tereduksi ke sampul kontabel  Bila X ruang kontabel kedua maka tiap basis � untuk X tereduksi ke basis kontabel X . Kedua teorema diatas selanjutnya dipakai untuk mendefinisikan ruang Lindelof berikut:  Ruang topologi X disebut Ruang Lindelof bila tiap sampul buka dari X tereduksi ke sampul kontabel. Jadi setiap ruang kontabel kedua adalah Ruang Lindelof .

6.3. RUANG TERPISAH

Ruang topologi X disebut terpisah bila ruang topologi X tersebut memenuhi aksioma:  X memuat subset padat yang kontabel Dengan kata lain, X adalah terpisah bila dan hanya bila ada subset terhingga atau subset denumerabel A dari X sedemikian hingga penutup A sama dengan X yaitu ̅ = Contoh: 1. Garis real R dengan topologi biasa adalah ruang terpisah karena set bilangan rasional Q adalah denumerabel dan padat di dalam R yaitu ̅ = 2. Garis real R dengan toplogi diskrit D. Ingat kembali bahwa setiap subset dari R adalah D buka dan D tutup, dimana D merupakan subset padat dari R dalam R sendiri dan R bukan set kontabel, sehingga R,D bukan ruang terpisah. Teorema:  Bila X memenuhi aksioma kedua dari kontabilitas maka X adalah terpisah. Garis real R dengan topologi yang dibangun olrh interval tutup buka [a,b adalah contoh klasik biasa dari ruang terpisah yang tidak memenuhi aksioma kedua dari kontabilitas. Dengan demikian maka konvers dari teorema diatas pada umumnya tidak benar.

6.4. SIFAT-SIFAT HEREDITER