3.7 TOPOLOGI KORSER DAN TOPOLOGI FAINER
Misal
� dan � adalah topologi pada set tidak kosong X dan tiap-tiap set buka anggota � subset dari X adalah anggota
� subset dari X. Dengan demikian, bahwa � adalah kelas bagian dari
� yaitu � � , sehingga dikatakan bahwa � adalah lebih kasar Coarser atau lebih kecil
smaller atau lebih lemah weaker terhadap � atau � lebih halus finer atau lebih besar
larger terhadap � . Perhatikan bahwa = {� } koleksi dari topologi-topologi adalah terurut
parsial dan dapat ditulis � ≾ �
� � dan dikatakan bahwa kedua topologi pada X
tidak dapat dibandingkan bila topologi yang satu bukan korser terhadap yang lainnya. Contoh:
1. Perhatikan topologi diskrit D, topologi indiskrit Y dan suatu topologi � pada set X, maka �
adalah korser terhadap D, dan � adalah finer terhadap Y. Jadi ≲ � ≲ .
2. Topologi = { , , , , }
= { , ∅, { }, { , }}, = { , ∅, { }, { , }, { , , }}
= { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }} .
Bandingkan topologi-topologi ,
3.8 RUANG BAGIAN, TOPOLOGI RELATIF
Misal A adalah subset tidak kosong dari ruang topologi , � . Kelas � yaitu kelas dari semua
irisan dari A dengan subset-subset buka
�
pada X
adalah topologi pada A dan topologi tersebut disebut topologi relative pada A atau relatifisasi
� terhadap A dan ruang topologi , � disebut ruang bagian dari
, � . Dengan kata lain, subset H dari A adalah set buka dari � , yaitu relative buka ke A, bila dan hanya bila ada subset buka G dari X dan
� sedemikian hingga
= Contoh:
1. Topologi � = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }} pada = { , , , , } dengan
= { , , } . Tentukan relatifisasi dari
� terhadap A 2.
Dari soal diatas, apabila = { , , } maka tentukan topologi relatife dari B
3. = { , , , , , } dengan = { , ∅, { , }, { , , }, { , , , , }, { , , }, { , , , }, { , , , }}
dan = { , , , } ,
= { , , , , }. Tentukan
3.9 EKUIVALENSI DARI DEFINISI TOPOLOGI
Definisi dari ruang topologi memberikan aksioma untuk set-set buka dalam ruang topologi dan
digunakan set buka sebagai pengertian ide sederhana untuk topologi. Teorema berikut menunjukkan alternatif lain untuk definisi topologi pada suatu set dengan menggunakan
pengertian sederhana dari lingkungan dari suatu titik dan penutup suatu set : Bila X adalah set tidak kosong dan untuk tiap
, � kelas dari subset-subset dari X
memenuhi aksioma berikut: a.
� tidak kosong dan p termasuk ke dalam anggota dari � b.
Irisan dari dua anggota � termasuk dalam � c.
Setiap superset dari anggota � termasuk � d.
Setiap anggota � adalah superset dari anggota
� sedemikian hingga � untuk tiap
maka ada satu dan hanya satu topologi � pada X sedemikian
hingga � adalah sistem lingkungan � dari titik
. Bila X adalah set tidak kosong dan k adalah operasi yang menghubungkan tiap subset A
dari X dengan subset A
k
dari X yang memenuhi aksioma penutup kuatowski berikut: a.
∅
�
= ∅ b.
�
c.
�
=
� �
d.
� �
=
�
maka ada satu dan hanya satu topologi � pada X sedemikian hingga
�
adalah penutup subset A dari X.
Soal
–
soal:
1. Jika = { , , }, buktikan bahwa
} ,
, {
}, ,
, ,
{ },
, ,
{ },
, {
}, {
, ,
e b
a d
c b
a d
c a
b a
a X
merupakan
topologi pada S?
2. � = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }, { , , }} adalah topologi pada = { , , } maka
tentukan: a.
Subset-subset tutup dari X b.
Closure dari { }, { }
{ , } c.
Manakah set dalam b yang merupakan padat dalam X d.
Set dari titik kumpul = { , , } e.
Set dari titik kumpul = { }
3. Jika
= { , , }, dengan
} ,
, {
}, ,
, ,
{ },
, ,
{ },
, {
}, {
, ,
e b
a d
c b
a d
c a
b a
a X
dan
= { , , } dimana
maka tentukan: a. Titik limit dari A
b. Titik interior dari A c. Titik eksterior dari A
d. Titik batas dari A e. Persekitaranlingkungan dari c
�
4. Jika = { , , }, dengan
} ,
, {
}, ,
, ,
{ },
, ,
{ },
, {
}, {
, ,
e b
a d
c b
a d
c a
b a
a X
dan
= { , , }, = { , , } dimana
, maka tentukan:
a. Topologi relatif dari � terhadap A �
b. Topologi relatif dari � terhadap B �
5. Misal � adalah ruang topologi pada X yang terdiri dari empat set yaitu � = { , ∅, , } dimana A
dan B tidak kosong dan merupakan subset-subset murni yang berlainan dari X. Syarat apakah yang harus dipenuhi oleh A dan B?
6. Misalkan A subset dari ruang topologi , � . Bilamanakah titik
bukan titik kumpul dari A?
BAB IV BASIS BASIS BAGIAN
Kategori