BAB IV BASIS BASIS BAGIAN
4.1. BASIS UNTUK TOPOLOGI
Definisi: Misal , � suatu ruang topologi. Suatu kelas � yang terdiri dari subset-subset buka dari
X yaitu � � adalah basis untuk topologi � bila dan hanya bila setiap set buka
adalah gabungan dari anggota-anggota .
Definisi tersebut equivalen dengan pernyataan berikut “� � adalah basis untuk topologi � bila dan hanya bila untuk setiap titik p yang termasuk pada set buka G ada
� dengan .
Dengan definisi lain: Apabila diberikan ruang topologi , � , suatu koleksi dari himpunan-himpunan terbuka
pada X maka dikatakan basis pada topologi � jika setiap himpunan terbuka adalah gabungan
dari elemen-elemen pada . Teorema berikut memberikan syarat yang perlu dan cukup untuk kelas dari set-set yang
merupakan basis untuk suatu topologi, yaitu: Misal � adalah kelas dari subset-subset dari set tidak kosong X maka � adalah basis untuk
suatu topologi pada X bila dan hanya bila memenuhi dua sifat: a.
= { : �}
b. Untuk suatu B,
� ,
adalah gabungan dari anggota-anggota � atau
bila maka
� � sedemikian hingga
. Jika merupakan suatu basis untuk topologi � pada dan merupakan koleksi dari
himpunan terbuka pada dimana maka
adalah juga basis untuk topologi . Contoh:
1. Diberikan = { , , , , , } dan
= { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , , }} dengan = {∅, { }, { , }, { , , , , }} . Apakah merupakan basis dari ? Jelaskan
2. = { , , , , } , ={ , ∅, { , , , }, { , , }, { , }, { , }, { }, { }, { , , , }, { , , }}
= { , ∅, { , , , }, { , , , }, { , , }, { , , }, { , }, { , }, { }, { }} = {{ , , , }, { , , }, { , }, { , }, { }, { }}
= { , { , , , }, { , , }, { , , }, { }, { , }, { , }, { }}
Apakah merupakan basis untuk topologi? Jelaskan
3. = { , , } dengan = {∅, { }, { , }, { }, { , }, } dan = {{ }, { }, { , }, ∅}
Apakah merupakan basis dari
r
? Mengapa? 4.
= { , , , } dengan = {∅, { }, { }, { , }, { , , }, { , , }} = {∅, { }, { }, { , }, { , , }, { , , }} Tunjukkan bahwa merupakan basis dari
T
4.2. BASIS BAGIAN
Misal , � suatu ruang topologi. Kelas yang anggotanya subset-subset buka dari yaitu
� adalah basis bagian untuk topologi � pada bila dan hanya bila irisan terhingga dari anggota- anggota membentuk basis untuk
�. Contoh:
1. Perhatikan bahwa setiap interval buka a,b dalam garis real R adalah irisan dari dua interval
buka tak hingga , ∞ dan −∞, : ,
= , ∞ −∞, . Interval-interval bukanya
membentuk basis untuk topologi pada R, jadi semua kelas dari semua interval buka tak hingga adalah basis bagian untuk R.
2. Irisan dari suatu pita buka interval dan horizontal tak hingga pada bidang R
2
adalah persegi panjang buka seperti buka, dimana persegi panjang
– persegi panjang buka membentuk basis untuk topologi pada R
2
. Kelas dari semua pita buka tak hingga adalah basis bagian untuk R
2.
y
x
3.
= { , , , } = {∅, , { }, { }, { }, { , }, { , }, { , }, { , , }}
= {{ , }, { , }, { , }, }
Apakah merupakan sub bagian pada
T
?
4.3 TOPOLOGI YANG DIBANGUN OLEH KELAS DARI SET
Kategori