4.2. BASIS BAGIAN
Misal , � suatu ruang topologi. Kelas yang anggotanya subset-subset buka dari yaitu
� adalah basis bagian untuk topologi � pada bila dan hanya bila irisan terhingga dari anggota- anggota membentuk basis untuk
�. Contoh:
1. Perhatikan bahwa setiap interval buka a,b dalam garis real R adalah irisan dari dua interval
buka tak hingga , ∞ dan −∞, : ,
= , ∞ −∞, . Interval-interval bukanya
membentuk basis untuk topologi pada R, jadi semua kelas dari semua interval buka tak hingga adalah basis bagian untuk R.
2. Irisan dari suatu pita buka interval dan horizontal tak hingga pada bidang R
2
adalah persegi panjang buka seperti buka, dimana persegi panjang
– persegi panjang buka membentuk basis untuk topologi pada R
2
. Kelas dari semua pita buka tak hingga adalah basis bagian untuk R
2.
y
x
3.
= { , , , } = {∅, , { }, { }, { }, { , }, { , }, { , }, { , , }}
= {{ , }, { , }, { , }, }
Apakah merupakan sub bagian pada
T
?
4.3 TOPOLOGI YANG DIBANGUN OLEH KELAS DARI SET
Misal � adalah kelas dari subset-subset dari set tidak kosong. Kemungkinan � bukan merupakan
basis untuk topologi pada . Jadi � selalu merupakan pembangunan dari topologi pada seperti
dikemukakan pada teorema berikut: Suatu kelas � yang terdiri dari subset-subset dari set tidak kosong adalah basis bagian
untuk suatu topologi � yang unik pada . Jadi irisan tak hingga dari anggota-anggota �
membentuk basis untuk topologi � pada .
Misal subset-subset dari set tidak kosong . Meskipun bukan basis tapi dapat membentuk topologi dengan cara:
a. Ditentukan semua irisan hingga dalam yang merupakan basis dari suatu topologi.
b. Dilakukan gabungan dari basis tersebut yang merupakan topologi yang dicari.
Topologi yang dibangun oleh kelas dari set-set dapat dinyatakan pula seperti proposisi berikut: Bila � adalah kelas subset-subset dari set tidak kosong maka topologi � pada yang
dibangun oleh � adalah irisan dari semua topologi pada yang memuat �.
Contoh: 1.
� = {{ , }, { , }, { }} adalah kelas dari subset-subset dari = { , , , }. Tentukan topologi pada
X
yang dibangun dibentuk oleh �
2. Let = { , , , , } . Find the topology � on generated by � = {{ }, { , , }, { , }}
3. Misal = { , , , , } dan = {{ , , }, { , }, { , }} .
Tentukan topologi pada
X
yang dibangun oleh
P
4.4 BASIS LOKAL
Misal adalah sebarang titik di dalam ruang topologi
X
. Kelas � dari subset-subset buka yang
memuat p disebut basis lokal pada bila dan hanya bila untuk tiap set buka yang memuat ada
� sedemikian hingga Berikut ini hubungan antara basis untuk topologi dan basis lokal pada suatu titik dengan proposisi:
1. Bila � basis untuk topologi � pada
X
dan maka anggota dari basis
� yang memuat p membentuk basis lokal di p.
2. Titik p di dalam ruang topologi
X
adalah titik kumpul dari bila dan hanya bila tiap-tiap
anggota suatu basis lokal � pada p memuat suatu titik A yang berbeda dengan p.
3. Barisan
, , … dari titik-titik dalam ruang topologi
X
konvergen ke bila dan hanya
bila tiap anggota dari sebarang basis lokal � pada
p
memuat semua suku-suku dari barisan itu.
Ketiga proposisi diatas memberikan corollary berikut: Bila � suatu basis untuk topologi � pada
X
maka : a.
adalah titik kumpul dari bila dan hanya bila tiap set basis buka
� yang memuat
p
, memuat suatu titik dari
A
yang berbeda dengan
p
. b.
Barisan , , … dari titik-titik dalam
X
konvergen ke bila dan hanya bila tiap
set basis buka � yang memuat
p
, memuat semua suku-suku dari barisan itu. Definisi basis lokal lainnya:
Diberikan
X,T
merupakan ruang topologi dan maka koleksi
�
dikatakan basis lokal pada suatu titik a jika milik sebuah himpunan terbuka G terdapat anggota
dari
B
sehingga .
G
RemarkKeterangan: 1.
It may be noted that every bases for a topology is also a local base at each point of ground set but the converse may not be true Setiap basis untuk topologi juga merupakan basis lokal
dalam setiap titik tetapi tidak sebaliknya mungkin tidak benar. 2.
Union of all bases froms bases for topology � defined on the any non-empty set X Persatuan dari semua basis lokal membentuk basis untuk topologi
�, setiap tidak kosong X set.
Contoh: 1.
Perhatikan topologi biasa pada bidang
R
2
dan maka kelas
� yang anggotanya semua bola buka yang pusatnya
p
adalah basis lokal pada
p
. Hal tersebut dapat ditunjukkan bahwa sebarang set buka
G
yang memuat
p
juga memuat bola buka yang pusatnya
p
.
Demikian pula, kelas dari semua interval buka − �, + � dalam garis real R dengan
pusat adalah basis lokal pada titik a.
2. = { , , } merupakan himpuan yang tidak kosong dan =
{∅, , { }, { }, { , }, { , }}. , merupakan rang topologi, tentukan:
a. Basis lokal pada titik a B
a
b. Basis lokal pada titk b B
b
c. Basis lokal pada titik c B
c
d. Basis pada topologi T
4.5. BASIS LIMIT
Kategori