BAB VIII KETERHUBUNGAN CONNECTEDNESS
8.1. SET-SET TERPISAH
Dua set
A dan B
dari ruang topologi
X
disebut terpisah, bila: a.
A dan B
saling lepas disjoint dan b.
Titik kumpul dari
A
tidak termasuk anggota set
B
dan sebaliknya. Dengan kata lain,
A dan B
terpisah bila dan hanya bila ̅ = ∅
̅ = ∅.
Contoh: 1.
Perhatikan interval-interval pada garis real
R
berikut:
A
=0,1 ,
B
=1,2 dan
C
=[2,3
A dan B
terpisah karena ̅ = [ , ]
= [ , ] ̅ = ∅
̅ = ∅
Tetapi
B dan C
tidak terpisah karena adalah titik kumpul dari
B
sehingga ̅
= [ , ] [ , = { } ≠ ∅ . 2.
Perhatikan subset-subet pada bidang R
2
berikut: = { , :
} = { , : =
�
, }
Tiap-tiap titik dalam A adalah titik kumpul dari B sehingga A dan B bukan set-set terpisah.
8.2. SET TERHUBUNG
Subset
A
dari ruang topologi
X
disebut tidak terhubung disconnected bila ada subset-subset buka
G
dan
H
dari
X
sedemikian hingga merupakan set-set tidak kosong yang saling
lepas dan gabungannya sama dengan
A
. Dalam hal ini, disebut tak terhubung dari
A
. suatu set disebut terhubung connected bila set tersebut tidak tak terhubung.
Perhatikan bahwa: =
ℎ ∅ =
ℎ
�
Oleh karena itu tak terhubung bila dan hanya bila:
= ∅, = ∅,
�
Catatan: Set kosong ∅ dan set singleton { } selalu terhubung.
Contoh: Perhatikan topologi pada
= { , , , , } dengan � = { , ∅, { , , }, { , , }, { }} Set
= { , , } adalah tak terhubung karena untuk = { , , } dan = { , , } maka = { }
= { , } merupakan set-set lepas yang tidak kosong dan gabungannya =A G dan H tidak lepas.
Hubungan dasar antara keterhubungan dan keterpisahan dengan teorema; 1.
Suatu set disebut terhubung bila dan hanya bila set tersebut buka merupakan gabungan dari set-set terpisah yang tidak kosong.
2. Bila A dan B set-set terhubung yang tidak terpisah maka
adalah terhubung.
8.3. RUANG TERHUBUNG Keterhubungan adalah sifat mutlak dari suatu set dengan teorema:
1. Bila A subset dari ruang topologi , � maka A terhubung terhadap � bila dan hanya bila A
terhubung terhadap topologi relative � pada A.
2. Ruang topologi X adalah terhubung bila dan hanya bila:
a. X bukan gabungan dari dua set buka tidak kosong yang lepas; atau
b. Hanya
∅ merupakan subset-subset dari X yang keduanya set buka dan tutup. 3.
Bayangan kontinu dari set terhubung adalah terhubung Contoh:
1. Bila X ruang topologi yang tidak terhubung dan
tak terhubung dari X maka =
= ∅ tetapi =
= , sehingga X tidak terhubung bila dan hanya bila ada set-set buka tidak kosong G dan H
sedemikian hingga =
= ∅ . 2.
Perhatikan topologi pada = { , , , , } � = { , ∅, { }, { . }, { , , }, { , , , }}
X adalah tak terhubung karena untuk { }
{ , , , } yang saling komplemen dan keduanya buka dan tutup, dengan kata lain
= { } { , , , } adalah tak terhubung dari X. 3.
Perhatikan ruang topologi pada no.2 bahwa topologi relatif dari subset = { , , } adalah { , ∅, { }}, sesuai dengan hal tersebut maka A adalah terhubung karena hanya
∅ yang merupakan subset dari A yang keduanya tuup dan buka dalam topologi relatif tersebut.
4. Garis real R dengan topologi biasa adalah ruang terhubung karena hanya
∅ yang merupakan subset-subset buka tutup dari R.
5. Misal f adalah fungsi kontinu dari ruang terhubung X ke dalam ruang topologi Y sehingga
: → [ ] adalah kontinu dengan f[X] mempunyai topologi relatif. f[X] adalah terhubung dapat ditunjukkan dengan dimisalkan f[X] tak terhubung, katakan G
dan H tak terhubung dari f[X] maka: [ ] =
= ∅ =
−
[ ]
−
[ ]
−
[ ]
−
[ ] = ∅ Karena f kontinu maka f
-1
[G] dan f
-1
[H] adalah subset-subset dari X dan karenanya tak terhubung dari X dan hal ini tak mungkin sehingga bila X terhubung maka f[X] terhubung.
6. Misal X adalah ruang tak terhubung dan misal G dan H adalah tak terhubung dari X maka
fungsi: ,
= ,
adalah fungsi kontinu dari X kepada ruang diskrit = { , }
Sebaliknya, bayangan kontinu dari ruang terhubung X tidak dapat tak terhubung dengan ruang diskrit
= { , }. Dengan kata lain dapat dinyatakan oleh lemma berikut:
Ruang topologi X adalah terhubung bila dan hanya bila fungsi kontinu dari X ke dalam = { , } hanyalah fungsi-fungsi konstan fx = 0 atau fx = 1.
8.4. KOMPONEN
Kategori