BAB VII AKSIOMA PEMISAH
7.1. RUANG – T
1
Ruang topologi
X
adalah ruang T
1
bila dan hanya bila memenuhi aksioma [T
1
]: Untuk pasangan titik-titik yang berbeda ,
, tiap-tiap titik tersebut termasuk di dalam set-set buka yang berbeda.
Dengan kata lain, ada set-set buka
G H
sedemikian hingga: ,
� ,
. Set-set buka
G dan H
tidak perlu saling lepas disjoint Teorema:
Ruang topologi
X
adalah Ruang – T
1
bila dan hanya bila setiap subset singleton { } dari
X
adalah tutup. Karena gabungan terhingga dari set-set tutup adalah tutup maka yang berikut adalah teorema
akibat Corollary:
, � adalah ruang T
1
bila dan hanya bila � memuat topologi kofinit pada
X
. Contoh:
1. Topologi kofinit pada
X
adalah topologi terkecil pada
X
dengan , � adalah ruang T
1
, sehingga topologi kofinit disebut juga topologi T
1
. Jadi topologi kofinit disebut juga topologi [T
1
] 2.
Setiap ruang metrik
X
adalah Ruang – T
1
karena subset-subset terhingga dari
X
adalah tutup. 3.
Perhatikan topologi � = { , ∅, { }} pada set = { , } dan , � merupakan ruang topologi. Perhatikan bahwa
X
adalah set buka yang memuat a dan juga
X
adalah set buka yang memuat b. Jadi
, � tidak memenuhi [T
1
] atau , � bukan ruang [T
1
]. Set singleton { } tidak tutup
karena komplemen { } yaitu { }
�
= { } adalah tidak buka
7.2. RUANG HAUSDORFF RUANG – T
2
Ruang topologi
X
disebut Ruang hausdorff atau Ruang – T
2
bila dan hanya bila memenuhi aksioma [T
2
]: Setiap pasang titik yang berbeda ,
berturut-turut termasuk ke dalam set-set buka yang lepas disjoint
Dengan kata lain T
2
, ada set-set buka
G H
sedemikian hingga: ,
� = ∅
Teorema: Setiap ruang metrik adalah ruang hausdorff
Pada umumnya, barisan a
1
,a
2,
... dari titik-titik di dalam ruang topologi konvergen ke lebih dari satu titik. Hal ini tidak berlaku bila
X
Ruang Hausdorff seperti dinyatakan dalam teorema berikut: 1.
Bila
X
ruang hausdorff maka setiap barisan konvergen dalam
X
mempunyai limit yang unik konversnya tidak benar
2. Bila
X
adalah ruang kontabel pertama maka
X
adalah Ruang Hausdorff bila dan hanya bila setiap barisan konvergen mempunyai limit yang unik.
Contoh: 1.
Setiap ruang metrik
X
adalah ruang hausdorff dapat ditunjukkan dengan dimisalkan ,
adalah titik-titik yang berbeda sehingga menurut [ ]
, = � . Perhatikan bola-bola
buka =
, � =
, � yang berturut-turut pusatnya a dan b. Diketahui bahwa
G
dan
H
adalah disjoint karena jika maka
, �
, � .
Dengan kesamaan segitiga yaitu: ,
, +
, � + � = � , tetapi hal
ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa ,
= � , sehingga
G
dan
H
disjointlepas yaitu a dan b berturut-turut termasuk ke dalam bola-bola buka
G
dan
H
sehingga X merupakan ruang hausdorff.
Catatan:
a. Ruang metrik , , ,
b. [ ].
, ,
= merupakan definit positif c.
[ ]. ,
= , merupakan simetri
d. [ ].
, ,
+ , merupakan ketidaksamaan segitiga
e. [ ].
≠ ,
f. Bilangan real da,b disebut jarak dari A ke B
2. Misal � adalah topologi pada garis real
R
yang terdiri dari interval-interval buka tutup a,b]. , � adalah bukan ruang hausdorff dapat ditunjukkan dengan dimisalkan G dan H adalah
tak hingga karena G dan H set-set buka tidak kosong pada �. G dan H adalah tak hingga
karena G dan H adalah komplemen dari set-set tak hingga. Bila = ∅ maka G adalah
set tak hingga, yang termasuk di dalam komplemen tak hingga dari H sehingga G dan H adalah disjoint lepas. Jadi tidak ada pasangan titik-titik yang berbeda di dalam R berturut-
turut termasuk ke dalam set-set buka pada � yang disjoint lepas sehingga ruang T
1
tidak perlu ruang hausdroff.
3. Apabila � adalah topologi kofinit yaitu topologi � pada garis real
R
maka , � adalah ruang
hausdorff dapat ditunjukkan dengan dimisalkan
G
dan
H
adalah set-set buka tidak kosong pada
� dimana
G
dan
H
adalah tak hingga karena
G
dan
H
adalah komplemen dari set-set terhingga. Bila
= ∅ maka
G
adalah set tak hingga yang termasuk di dalam komplemen terhingga dari
H
sehingga
G
dan
H
adalah disjoint lepas. Jadi tidak ada pasangan titik-titik yang berbeda di dalam
R
berturut-turut termasuk ke dalam set-set buka pada � yang disjoint
lepas. Jadi Ruang – T
1
tidak perlu Ruang hausdorff.
7.3. RUANG REGULER RUANG – T
Kategori