gabungan dari anggota-anggota dari � tetapi
−
[ ] =
−
[
� �
] =
� −
[
�
] dan tiap- tiap
−
[
�
] adalah buka menurut hipotesis, jadi
−
[ ] adalah gabungan dari set-set buka, yang merupakan set buka. Jadi f adalah kontinu.
3. = { , , , }
= { , , , } , � = { , ∅, { }, { , }, { , , }} dan � = { , ∅, { }, { }, { , }, { , , }}. Fungsi-fungsi : →
: → didefinisikan:
f g
Apakah fungsi
f
dan
g
kontinu di dalam topologi? Jelaskan 4.
Misalkan topologi-topologi pada = { , , , } dan = { , , , } pada = { , ∅, { }, { }, { , }, { , , }} dan = { , ∅, { }, { }, { , }, { , , }}
Fungsi-fungsi : → dan : → didefinisikan:
: { , , , , , , , } dan : { , , , , , , , } Apakah fungsi f dan g kontinu dalam topologi? Jelaskan
5.2. FUNGSI KONTINU DAN KETERTUTUPAN SEBARANG
Misal
X
adalah ruang topologi. Titik disebut tutup sebarang arbitrarily close terhadap
set bila
dan
p
adalah titik kumpul dari
A
Ingat bahwa ̅ =
′ ; jadi penutup dari
A
memuat titik di dalam
X
yang merupakan tutup sebarang terhadap
A
. Ingat juga bahwa ̅ =
, jadi
p
adalah tutup sebarang terhadap
A
karena
p
adalah titik interior atau titik batas dari
A
. Fungsi-fungsi kontinu dapat pula dinyatakan sebagai fungsi-fungsi dengan tutup sebarang utuh
dengan teorema seperti berikut: Fungsi : → adalah kontinu bila dan hanya bila untuk
; p tutup sebarang ke A maka fp tutup sebarang ke f[A] atau
̅ maka [ ]
̅̅̅̅̅̅ atau [ ̅]
[ ] ̅̅̅̅̅̅ .
a. b.
c. d.
.x .y
.z .w
a. b.
c. d.
.x .y
.z .w
5.3. KONTINU PADA SUATU TITIK
Suatu fungsi : → adalah kontinu di titik
bila hanya bila bayangan invers
−
[ ] dari tiap set buka
yang memuat
fp
adalah superset dari set buka yang memuat
p
, atau nila dan hanya bila bayangan invers dari tiap-tiap lingkungan dari
fp
adalah lingkungan dari
p
yaitu ⟹
−
[ ] .
Teorema: Misal
X dan Y
masing-masing ruang topologi maka fungsi : → adalah kontinu bila
dan hanya bila : → kontinu pada tiap titik dari
X
. Contoh:
1. Apabila topologi pada = { , , , } diberikan oleh � = { , ∅, { }, { }, { , }, { , , }}
dan fungsi : → didefinisikan oleh diagram:
Tunjukkan bahwa: a. f tidak kontinu di c
b. f kontinu di d 2.
Apabila topologi pada = { , , , } diberikan oleh � = { , ∅, { }, { }, { , }, { , , }} dan fungsi
: → didefinisikan : { , , , , , , , }. a.
Apakah f kontinu di p? b. Apakah f kontinu di q?
3. Kondisi apakah yang harus dipenuhi agar fungsi : → tidak kontinu di titik
?
5.4. KEKONTINUAN BARISAN DI SUATU TITIK
Fungsi : → adalah barisan kontinu di titik
bila dan hanya bila untuk tiap barisan a
n
dalam X konvergen ke p, barisan fa
n
dalam Y konvergen ke fp, yaitu: →
→ Barisan kontinu dan kontinu di suatu titik berrelasi yaitu bila fungsi
: → kontinu di titik maka
: → adalah barisan kontinu di titik p. Catatan:
Konvers dari proposisi diatas adalah tidak benar. Misalnya, perhatikan topologi � pada garis real
R yang terdiri ∅ dan komplemen dari set-set kontabel. Ingat kembali suatu barisan a
n
konvergen ke p bila dan hanya bila barisan itu berbentuk , , … ,
, , , , … , maka
a b
c d
a b
c d
untuk suatu fungsi : , � →
, � , fa
n
= fa
1
, fa
2
, … , fa
no
, fp, fp, fp ,…
konvergen ke fp. Dengan kata lain, setiap fungsi pada , � adalah barisan kontinu.
Sebaliknya, fungsi : , � →
, yang didefinisikan oleh = , yaitu fungsi identitas,
adalah bukan kontinu � − karena
−
[ , ] = , bukan subset buka � dari R.
5.5. FUNGSI BUKA DAN FUNGSI TUTUP
