untuk suatu fungsi : , � →
, � , fa
n
= fa
1
, fa
2
, … , fa
no
, fp, fp, fp ,…
konvergen ke fp. Dengan kata lain, setiap fungsi pada , � adalah barisan kontinu.
Sebaliknya, fungsi : , � →
, yang didefinisikan oleh = , yaitu fungsi identitas,
adalah bukan kontinu � − karena
−
[ , ] = , bukan subset buka � dari R.
5.5. FUNGSI BUKA DAN FUNGSI TUTUP
Fungsi kontinu mempunyai sifat bahwa bayangan invers dari tiap set buka dan bayangan invers dari tiap set tutup adalah tutup. Definisi dari fungsi buka dan tutup didefinisikan sebagai berikut:
Fungsi : → disebut fungsi buka fungsi interior bila bayangan peta dari tiap set buka adalah buka.
Fungsi : → disebut fungsi tutup bila bayangan peta dari tiap set tutup adalah tutup. Pada umumnya fungsi-fungsi buka, tidak perlu tutup, dan sebaliknya.
Contoh: 1.
Fungsi konstan = merupakan fungsi tertutup dan kontinu, tidak terbuka.
2. Fungsi
= merupakan fungsi tidak terbuka karena misalnya = − , interval buka maka
= [ , tidak terbuka.
5.6. RUANG HOMEOMORPHIS
Definisi: Dua ruang topologi
, ,
dikatakan homeomorphis bila dan hanya bila :
→ yang bijektif one-one onto sedemikian hingga
f dan f
-1
kontinu.
atau Fungsi
f
disebut suatu kontinu bila
f
terbuka dan kontinu sehingga
f homeomorphisme
↔
f bikontinu dan bijektif.
Proporsi: Relasi di dalam suatu koleksi dari ruang topologi-ruang topologi yang didefinisikan oleh
“
X homeomorphis dengan Y
” adalah relasi equivalen. Relasi homeomorphis adalah relasi yang equivalen dan berlaku sifat:
a. Refleksif
homeomorphik dengan dirinya sendiri b.
Simetris bila S
1
homeomorphis S
2
maka S
2
homeomorphis S
1
c. Transitif
bila S
1
homeomorphis S
2
maka S
2
homeomorphis S
3
maka S
1
homeomorphis S
3
Contoh: 1.
Misal = − , . Fungsi : → yang didefinisikan oleh = tan � yang satu-
satu, onto dan kontinu. Selanjutnya, fungsi
−
adalah kontinu. Jadi garis real
R
dan interval buka -1,1 adalah homeomorphis.
2. Misal
X dan Y
masing-masing ruang diskrit maka semua fungsi dari fungsi yang satu ke fungsi yang lainnya adalah kontinu. Jadi
X dan Y
adalah homemorphis bila dan hanya bila ada fungsi satu-satu dan onto dari fungsi yang satu terhadap lainnya yaitu bila dan hanya
bila
X dan Y
mempunyai kardinal yang sama.
5.7. SIFAT-SIFAT TOPOLOGI
Sifat
P
dari set-set disebut topologi atau topologi invarian, bila ruang topologi , �
mempunyai sifat
P
maka setiap ruang yang homeomorphis dengan , � juga mempunyai
sifat
P
. Contoh:
1. Pada contoh terdahulu telah diketahui bahwa garis real R adalah homemorphis dengan
interval buka = − , . “Jarak” adalah bukan sifat topologi karena
X dan R
mempunyai perbedaan jarak dan keterbatasan juga bukan sifat topologi karena
X
terbatas sedangkan
R
tak terbatas. 2.
Misal
X
adalah set semua bilangan real positif yaitu = , ∞ dan fungsi : → yang
didefinisikan oleh =
�
adalah homeomorphik dari
X
kepada
X
. Perhatikan bahwa barisan
= , , , … berkorespondensi di bawah homeomorphis dengan barisan = , , , … . Barisan a
n
merupakan barisan Cauchy sedangkan barisa fa
n
bukan barisan Cauchy. Jadi sifat dari barisan Cauchy bukan topologi.
Topologi selanjutnya memeriksa akibat dari beberapa sifat topologi seperti kekompakan compactness dan keterhubungan connectedness. Dalam kenyataannya, topologi formal
adalah studi tentang invariant topologi. B
erikut, “keterhubungan” didefinisikan dan ditunjukkan oleh sifat topologi: Ruang topologi , � disebut tidak terhubung disconnected bila dan hanya bila X adalah
gabungan dari dua subset buka yang tidak kosong dan subset-subset yang lepas yaitu =
dengan ,
� = ∅,
, ≠ ∅. Bila : → suatu homemorphisma maka =
bila dan hanya bila =
[ ] [ ] dan Y adalah tidak terhubung bila dan hanya bila X tidak terhubung. Ruang
topologi , � adalah terhubung connected bila dan hanya bila , � tidak tak terhubung.
5.8. TOPOLOGI DARI FUNGSI-FUNGSI
