1.6. PRODUK DARI SET-SET
Misalkan A dan B adalah set-set tertentu.
Produk dari set A dan B ditulis
, memuat semua pasangan terurut a,b dengan
= { , : ,
}. Produk suatu set dengan dirinya sendiri, misalkan
dinotasikan dengan . Contoh:
= { , , } = { , }, tentukan
1.7. RELASI
Relasi biner relasi R dari set A ke set B menentukan tiap pasangan , di dalam tepat
memenuhi satu pernyataan berikut: a berelasi dengan b ditulis a tak berrelasi dengan b ditulis
Suatu relasi dari set A ke set A lagi disebut relasi di dalam A. Relasi A ke B secara khusus didefinisikan sebagai subset R dari A X B sebagai berikut:
= { , :
}, sebaliknya sebarang subset R dari A x B didefinisikan sebagai suatu relasi R dari A ke B sbb:
ℎ ,
. Korespondensi antara relasi-relasi R dari A ke B dengan subset-subset dari
didefinisikan “Suatu Relasi R dari A ke B adalah subset dari .
Domain daerah asal dari relasi R dari A ke B adalah set dari koordinat pertama pasangan di dalam R dan range daerah hasil adalah set dari koordinat kedua di dalam R yaitu:
Domain = { : , } Range = { : ,
} Invers dari R ditulis
−
adalah relasi dari B ke A didefinisikan:
−
= { , : , }
Relasi identitas di dalam suatu set A ditulis ∆
∆ adalah semua pasangan dalam dengan koordinat sama yaitu:
∆ = { , : }
Contoh: Relasi
= { , , , , , } di dalam = { , , } . Tentukan domain, range dan invers dari R
1.8. RELASI EQUIVALEN
Suatu relasi R di dalam set A yaitu subset dari A X A disebut
relasi equivalen bila hanya bila memenuhi ketiga aksioma berikut:
a. Untuk tiap
, , sifat refleksif
b. Bila ,
, ,
sifat simetris c.
Bila , ,
, ,
sifat transitif
Secara singkat dapat dikatakan bahwa suatu relasi disebut relasi equivalen bila dan hanya bila relasi tersebut refleksif, simetris dan transitif.
Contoh: Apakah relasi subset dari didalam suatu set inklusi merupakan relasi equivalen?
Didalam geometri Euclid, kesebangunan segitiga-segitiga adalah relasi eqiuvalen.
Buktikan Bila R suatu relasi equivalen di dalam A maka kelas equivalen dari
[ ] adalah set dari elemen-elemen yang berrelasi dengan a yaitu:
[ ] = { : , }.
Koleksi dari kelas-kelas equivalen dari A ditulis AR disebut faktor quotient A oleh R yaitu AR=
{[ ]: }.
Set faktor AR memenuhi sifat-sifat berikut: a.
Teorema 4. Misal R adalah relasi equivalen di dalam A dan
[ ] adalah kelas equivalen dari maka:
1. Untuk setiap
[ ] 2.
[ ] = [ ] bila dan hanya bila a,b 3.
Bila [ ] ≠ [ ]
[ ] [ ] = � Suatu kelas
� dari subset-subset tidak kosong dari A disebut partisi dari A bila dan hanya bila :
1. Tiap
termasuk anggota dari �
2. Anggota-anggota dari � sepasang-sepasang saling lepas disjoint
b. Teorema 5.
Bila R suatu relasi equivalen dalam A maka set faktor quotient AR adalah partisi dari A.
1.9. KOMPOSISI DARI RELASI
Misal U adalah relasi dari A ke B dan V suatu relasi dari B ke C yaitu maka relasi dari A ke C sedemikian hingga untuk sebarang
. ,
, disebut komposisi dari U dan V ditulis
. Notasi pembentuk set, komposisi dari U dan V ditulis
= { , : ,
, , ℎ
, , ,
}. Contoh:
Misalkan = { , , , }, = { , , , }, = { , , , }
= { , , , , , , , , ,
} dan = { , , , , , , , } U adalah relasi dari A ke B dan V adalah relasi dari B ke C.
Gambarkan kedua relasi tersebut dan tentukan
Soal
–
soal:
1. Bila = { :
= }, apakah A = 2?
2. Apakah ∅ = { } = {∅} ?
3. Manakah yang merupakan set kosong?
a. = { :
= , = }
b. = { : + = }
4. Misal = { , , , … , , }, = { , , , }, = { , , , }
= { , , , } Carilah:
a. b.
c. −
d.
5. Misal R relasi dari = { , , , } = { , , } yaitu ,
bila dan hanya bila a.
Tulislah R sebagai set pasangan terurut b.
Gambarlah R pada diagram koordinat c.
Carilah domain dari R, range R, dan R
-1
d. Carilah
−
BAB II FUNGSI
Kategori