7.3. RUANG REGULER RUANG – T
3
Ruang topologi
X
disebut Ruang regular bila dan hanya bila memenuhi aksioma [R]: Bila
F
subset tutup dari X dan bukan anggota
F
maka ada set-set buka
G
dan
H
yang saling lepas disjoint sedemikian hingga
Suatu Ruang Regular tak perlu Ruang – T
1
dan Ruang regular
X
yang memenuhi aksioma pemisah T
1
atau Ruang – T
1
disebut Ruang – T
3
dengan contoh berikut: 1.
Misal
X
adalah ruang T
3
maka
X
adalah ruang Hausdorff yaitu ruang T
2
dapat ditunjukkan dengan dimisalkan
, titik-titik yang berbeda. Karena
X
ruang T
1
maka { } adalah
set tutup dan karena a dan b berbeda maka { }. Menurut [R], ada set-set buka
G
dan
H
yang lepas sedemikian hingga { }
sehingga a dan b berturut-turut termasuk ke dalam set-set buka
G
dan
H
yang lepas. 2.
Topologi � = { , ∅, { }, { , }} pada set = { , , } . Perhatikan bahwa subset-subset tutup dari X adalah
, ∅, { }, { , } dan , � memenuhi [R] tetapi , � bukan ruang T
1
karena ada set terhingg
{ } tidak tutup.
7.4. RUANG NORMAL RUANG – T
4
Ruang topologi X disebut ruang normal bila dan hanya bila memenuhi aksioma berikut: Bila F
1
dan F
2
saling lepas dan merupakan subset-subset buka G dan H yang saling lepas sedemikian hingga
. Ruang normal mempunyai sifat dengan teorema berikut:
Ruang topologi X adalah Ruang Normal bila dan hanya bila untuk setiap set tutup F dan set buka H yang memuat F, ada set buka G sedemikian hingga
̅ Contoh:
1. Setiap ruang metrik adalah ruang normal berdasarkan teorema pemisah.
2. Topologi � = { , ∅, { }, { }, { , }} pada set = { , , } . Perhatikan bahwa set-set tutupnya
adalah , ∅, { , }, { , }, { }. Bila F
1
dan F
2
saling lepas dan merupakan subset-subset tutup dari
, � maka salah satu dari F
1
atau F
2
, misalnya F
1
haruslah set kosong ∅ sehingga
∅ adalah lepas dan merupakan set-set buka dengan
∅ .
Dengan kata lain , � adalah ruang normal tetapi , � bukan ruang T
1
karena set singleton { } tidak tutup dan selanjutnya , � bukan ruang regular karena superset buka dari set tutup
{�} adalah X yang memuat a.
3. Bila X adalah ruang T
4
maka X adalah ruang T
1
reguler maka dapat ditunjukkan dengan dimisalkan F adalah subset tutup dari X dan
bukan anggota dari F. Menurut [T
1
] maka { } adalah tutup, dan karena F dan { } saling lepas maka menurut [N] ada set-set buka G dan
H yang lepas sedemikian hingga { }
.
Dari uraian tersebut diatas diperoleh bahwa ruang metrik adalah ruang normal dan ruang T
1
yaitu Ruang T
4
. Diagram berikut menggambarkan hubungan antara ruang-ruang yang dibicarakan dalam aksioma
pemisah:
7.5. LEMMA URYSOHN’S DAN TEOREMA METRISASI
Kategori