Contoh: 1.
Dua topologi pada = { , , , , } dengan
= { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }} dan = { , ∅, { }{ , }{ , , }{ , , , }} Apakah
merupakan topologi pada X? 2.
= { , , , , } dengan = { , ∅, { }, { }, { , }}, = { , ∅, { }, { }, { , }}
Apakah merupakan topologi?
3. Diberikan = { , ∅, { }, { }, { , }} , = { , ∅, { }, { , }} dan = { , ∅, { }, { , }}
pada = { , , } .
a. Tentukan
dan b.
Apakah merupakan topologi?
c. Apakah
merupakan topologi?
3.2. TITIK KUMPUL ACCUMULATION POINTS
Misal adalah ruang topologi. Suatu titik adalah titik kumpul dari
bila dan hanya bila setiap set buka yang memuat , memuat suatu titik yang berbeda dengan atau
“bila G
buka,
�
maka
− {�} ≠ ∅”.
Set dari titik-titik kumpul dari A ditulis
′
dan disebut set derive dari A.
Apabila ruang diskrit yaitu , dengan = { , ∅} maka adalah set buka yang memuat
sebarang . Jadi adalah titik kumpul dari setiap subset dari , kecuali set kosong
∅ dan set
{ } . Jadi set dari titik-titik kumpul ′ adalah:
′
= ∅,
= ∅ { }
�
= − { }, = { }
, ℎ
Contoh: 1.
� = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }} adalah topologi pada = { , , , , } =
{ , , } . Tentukan titik kumpul dari A
2. Diketahui = { , , , , } dengan = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }}.
= { , } , = { , , } , = { , , } , = { , , , }
Tentukan: a.
′ b.
′ c.
′ d.
′
3.3. HIMPUNAN TERBUKA HIMPUNAN TERTUTUP OPEN SETS CLOSED SETS
Definisi: Untuk sebarang ruang topologi , � . Anggota-anggota dari � dikatakan himpunan
terbuka. Teorema:
Untuk sebarang ruang topologi , � maka: a.
∅ adalah set-set buka b.
Irisan dari set-set buka adalah buka c.
Gabungan dari dua set-set buka adalah buka Selanjutnya jika ada yang terbuka pastilah ada yang tertutup yaitu komplemen dari himpunan
terbuka. Misal adalah ruang topologi. Subset dari disebut set tertutup bila dan hanya bila komplemen
�
adalah set buka.
Definisi: Untuk sebarang ruang topologi , � , suatu himpunan bagian dari dikatakan himpunan
tertutup jika komplemennya merupakan himpunan terbuka pada , � .
Apabila adalah ruang diskrit yaitu setiap subset dari adalah buka maka setiap subset dari adalah juga tutup, karena komplemennya selalu buka. Dengan kata lain,
setiap subset dari X adalah buka dan tutup
. Ingat bahwa
��
= , untuk setiap subset dari maka diperoleh proposisi berikut:
Dalam ruang topologi , subset dari adalah buka bila dan hanya bila komplemennya tutup.
Aksioma dari ruang topologi dan hukum De Morgan memberikan teorema berikut: Bila ruang topologi maka kelas dari subset-subset tutup dari memiliki sifat-sifat yaitu:
a. ∅ adalah set-set tutup
b. Irisan dari set-set tutup adalah tutup
c. Gabungan dari dua set tutup adalah tutup
Set-set tutup dapat pula dinyatakan dengan menggunakan pengertian titik kumpul sebagai berikut, dengan teorema:
Subset dari ruang topologi adalah tutup bila dan hanya bila A memuat semua titik kumpul dari .
Dengan kata lain bahwa
set A adalah tutup bila dan hanya bila set derive
′
dari A adalah subset dari A yaitu
′ Contoh:
1. = { , , , , }
= { , ∅, { , }, { , }, { , , }, { }} Tentukan:
a. Himpunan bagian dari yang terbuka
b. Himpunan bagian dari yang tertutup
c. Himpunan yang bersifat terbuka tetapi juga tertutup
d. Himpunan yang hanya bersifat terbuka
e. Himpunan yang hanya bersifat tertutup
f. Himpunan yang hanya bersifat tidak terbuka dan juga tidak tertutup
2. Kelas � = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }} didefinisika pada = { , , , , }.
Tentukan subset-subset tutup dari X 3.
Diberikan ruang topologi ,
dengan = { , , , , , } dan
= { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , , }} . Apa saja himpunan tertutup dari ,
?
3.4. PENUTUP DARI SET CLOSURE OF A SET
