2. Misal
X dan Y
masing-masing ruang diskrit maka semua fungsi dari fungsi yang satu ke fungsi yang lainnya adalah kontinu. Jadi
X dan Y
adalah homemorphis bila dan hanya bila ada fungsi satu-satu dan onto dari fungsi yang satu terhadap lainnya yaitu bila dan hanya
bila
X dan Y
mempunyai kardinal yang sama.
5.7. SIFAT-SIFAT TOPOLOGI
Sifat
P
dari set-set disebut topologi atau topologi invarian, bila ruang topologi , �
mempunyai sifat
P
maka setiap ruang yang homeomorphis dengan , � juga mempunyai
sifat
P
. Contoh:
1. Pada contoh terdahulu telah diketahui bahwa garis real R adalah homemorphis dengan
interval buka = − , . “Jarak” adalah bukan sifat topologi karena
X dan R
mempunyai perbedaan jarak dan keterbatasan juga bukan sifat topologi karena
X
terbatas sedangkan
R
tak terbatas. 2.
Misal
X
adalah set semua bilangan real positif yaitu = , ∞ dan fungsi : → yang
didefinisikan oleh =
�
adalah homeomorphik dari
X
kepada
X
. Perhatikan bahwa barisan
= , , , … berkorespondensi di bawah homeomorphis dengan barisan = , , , … . Barisan a
n
merupakan barisan Cauchy sedangkan barisa fa
n
bukan barisan Cauchy. Jadi sifat dari barisan Cauchy bukan topologi.
Topologi selanjutnya memeriksa akibat dari beberapa sifat topologi seperti kekompakan compactness dan keterhubungan connectedness. Dalam kenyataannya, topologi formal
adalah studi tentang invariant topologi. B
erikut, “keterhubungan” didefinisikan dan ditunjukkan oleh sifat topologi: Ruang topologi , � disebut tidak terhubung disconnected bila dan hanya bila X adalah
gabungan dari dua subset buka yang tidak kosong dan subset-subset yang lepas yaitu =
dengan ,
� = ∅,
, ≠ ∅. Bila : → suatu homemorphisma maka =
bila dan hanya bila =
[ ] [ ] dan Y adalah tidak terhubung bila dan hanya bila X tidak terhubung. Ruang
topologi , � adalah terhubung connected bila dan hanya bila , � tidak tak terhubung.
5.8. TOPOLOGI DARI FUNGSI-FUNGSI
Misal {
�
, �
�
} adalah koleksi dari ruangtopologi-ruang topologi dan untuk tiap
�
terdapat fungsi
�
= →
�
yang didefinisikan pada sebarang set tidak kosong
X
. Untuk memeriksa topologi
–topologi pada X yang berturut-turut semua fungsi
f
i
adalah kontinu, ingat kembali bahwa
f
i
adalah kontinu relative terhadap sebarang topologi pada X maka invers bayangan dari tiap-tiap subset buka dari
�
adalah subset buka dari
X
. Jadi kelas-kelas dari subset-subset dari
X
adalah =
�
{
−
[ ]: �
�
} .
Dengan demikian, � memuat invers bayangan dari tiap-tiap subset dari setiap ruang topologi
�
. Topologi
� pada X yang dibangun oleh � disebut topologi yang dibangun leh fungsi
�
. Sifat- sifat topologi seperti itu mempunyai sifat-sifat berikut dengan teorema:
a. Semua fungsi
�
adalah kontinu relative terhadap � .
b. � adalah irisan dari semua toplogi pada X dengan fungsi-fungsi
�
adalah kontinu. c.
� adalah terkecil yaitu coarser topologi pada X yang masing-masing fungsi
�
adalah kontinu.
d. � adalah basis bagian untuk topologi �.
Contoh: 1.
Consider the following topology on = { , , , } with = { , ∅, { }, { , , }, { , }} . Let
= { , , , } and let the function : → , � and : → , � be defined by:
f g
Find the defining subbase � for the topology � on X induced by f and g the coarsest
topology with respect to which f and g are continuous 2.
= { , , , } dan , � merupakan ruang topologi � = { , ∅, { }, { }, { , }, { , , }} . Misal
= { , , , } dan fungsi : → , � dan : → , � dengan diagram sebagai berikut:
f g
Tentukan sub basis � untuk topologi � pada X yang dibangun oleh f dan g yaitu topologi
coarser terkecil dengan f dan g masing-masing kontinu 3.
Consider the following topology on = { , , , } , � = { , ∅, { , }, { , }} . Let
= { , , , , } and let : → and : → be as follows: : { , , , , , , , , , } and : { , , , , , , , , , } .
Find the defining subbase for topology on X induced by f and g
1 2
3 4
a b
c d
1 2
3 4
a b
c d
a b
c d
x y
z w
a b
c d
x y
z w
SOAL
–
SOAL:
1. Let : → be a constant function, say
= , for every
. Then
f
is continuous relative to any topology
T
on
X
and any topology
T
on
Y
. Biarkan
f: X
→
Y
menjadi fungsi konstan, katakanlah
x = p Y
, untuk setiap
x X
. Kemudian
f
relatif terus menerus untuk setiap
T
topologi pada
X
dan setiap topologi
T
pada
Y
. 2.
Let : → be any function. If , � is an indiscrete space, then : , → , � is
continuous for any
T
Biarkan
f: X
→
Y
menjadi fungsi apapun. Jika
Y, A
adalah sebuah ruang indiscrete, maka
f: X, T
→
Y, A
kontinu untuk setiap
T
3. Suppose a singleton set
{ } is an open subset of a topological space
X
. Show that for any topological space
Y
and any function : → , f is continuous at
. Misalkan satu set tunggal
{p}
merupakan bagian terbuka dari
X
. Tampilkan ruang topologi bahwa untuk setiap Y topological ruang dan fungsi setiap
f: X
→
Y
,
f
kontinu pada p X. 4.
Fungsi nilai mutlak
f
pada
R
, = | | untuk
adalah kontinu dengan Aa,b interval buka dalam R. Buktikan
BAB VI KONTABILITAS
