Dari uraian tersebut diatas diperoleh bahwa ruang metrik adalah ruang normal dan ruang T
1
yaitu Ruang T
4
. Diagram berikut menggambarkan hubungan antara ruang-ruang yang dibicarakan dalam aksioma
pemisah:
7.5. LEMMA URYSOHN’S DAN TEOREMA METRISASI
Teorema Lemma Urysohn’s: Misal
F
1
dan F
2
salin lepas dan merupakan subset-subset tutup dari ruang normal X maka ada fungsi kontinu
: → [ , ] sedemikian hingga [ ] = { } [ ] = { }.
Teorema Metrisasi Urysohn: Setiap Ruang – T
1
normal kontabel kedua adalah metrisabel.
7.6. FUNGSI TITIK-TITIK TERPISAH
Misal � = { :
} adalah kelas dari fungsi-fungsi dari set X ke dalam set Y. Kelas � dari fungsi-fungsi disebut titik-titik terpisah bila dan hanya bila untuk suatu pasangan dari titik-titik
yang berbeda ,
ada fungsi f dalam � sedemikian hingga
≠ dengan proposisi:
Bila CX,R kelas dari semua fungsi kontinu bernilai real pada ruang topologi terpisah X, maka X adalah Ruang Hausdroff.
Contoh: 1.
Kelas dari fungsi-fungsi bernilai real adalah: � = {
= sin , = sin ,
= sin } didefinisikan pada R. Perhatikan bahwa untuk setiap fungsi
�, =
� = . Jadi kelas
� bukan titik-titik terpisah.
RUANG TOPOLOGI RUANG
– T
1
RUANG – T
2
RUANG HAUSDORFF RUANG
– T
3
RUANG T
1
– REGULER RUANG
– T
4
RUANG T
1
– NORMAL RUANG METRIK
2. Misal CX,R adalah kelas dari semua fungsi bernilai real pada ruang topologi maka dapat
ditunjukkan bahwa bila CX,R titik-titik terpisah maka X adalah ruang hausdorff dengan dimisalkan
, adalah titik-titik yang berbeda. Menurut hipotesis ada fungsi kontinu
: → sedemikian hingga ≠
tetapi R adalah ruang hausdorff sehingga ada subset-subset buka G dan H yang lepas dari R yang berturut-turut memuat fa dan fb.
Jadi invers
−
[ ]
−
[ ] adalah lepas, buka dan berturut-turut memuat a dan b. Dengan kata lain, X adalah ruang hausdorff.
7.7. RUANG REGULER LENGKAP
Ruang topologi disebut ruang regular lengkap bila dan hanya bila memenuhi aksioma: Bila F subset tutup dari X dan
bukan anggota dari F maka ada fungsi kontinu : →
[ , ] sedemikian hingga =
[ ] = . Proporsisi:
Ruang Reguler Lengkap adalah Ruang Reguler Ruang regular lengkap X yang memenuhi [T
1
] yaitu ruang T
1
reguler lengkap disebut Ruang Tychonoff. Berdasarkan atas Lemma Urysohn, ruang
– T
4
adalah Ruang Tychonoff dan menurut proposisi bahwa Ruang Tychonoff adalah Ruang T
3
sehingga Ruang Tychonoff yaitu Ruang – T
1
Reguler Lengkap, kadang-kadang disebut Ruang – T
3 ½
. Salah satu sifat penting dari Ruang Tychonoff adalah teorema berikut:
X,R yaitu kelas dari semua fungsi kontinu bernilai real ada Ruang – T
1
– Reguler Lengkap X adalah titik-titik pisah.
BAB VIII KETERHUBUNGAN CONNECTEDNESS
