Dengan kata lain bahwa
set A adalah tutup bila dan hanya bila set derive
′
dari A adalah subset dari A yaitu
′ Contoh:
1. = { , , , , }
= { , ∅, { , }, { , }, { , , }, { }} Tentukan:
a. Himpunan bagian dari yang terbuka
b. Himpunan bagian dari yang tertutup
c. Himpunan yang bersifat terbuka tetapi juga tertutup
d. Himpunan yang hanya bersifat terbuka
e. Himpunan yang hanya bersifat tertutup
f. Himpunan yang hanya bersifat tidak terbuka dan juga tidak tertutup
2. Kelas � = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }} didefinisika pada = { , , , , }.
Tentukan subset-subset tutup dari X 3.
Diberikan ruang topologi ,
dengan = { , , , , , } dan
= { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , , }} . Apa saja himpunan tertutup dari ,
?
3.4. PENUTUP DARI SET CLOSURE OF A SET
Misal subset dari ruang topologi .
Penutup dari A closure of A ditulis
̅
−
adalah irisan dari semua superset tutup dari A
. Dengan kata lain, bila {
�
∶ } adalah kelas semua
subset tutup dari yang memuat maka ̅ =
� �
Perhatikan bahwa ̅ adalah tutup karena ̅ adalah irisan dari set-set tutup. Selanjutnya juga, ̅ adalah superset tutup terkecil dari , dengan demikian bila adalah set tutup yang memuat
maka ̅
. Berdasarkan hal tersebut, set adalah tutup bila dan hanya bila
= ̅ dan diperoleh pernyataan berikut dengan dalil proposisi:
Bila ̅ penutup dari set maka: a.
̅ adalah penutup b.
Bila superset tutup dari A maka ̅
c. adalah tutup bila dan hanya bila = ̅
Misal adalah ruang topologi kofinit yaitu komplemen dari set-set terhingga dan ∅ adalah set-
set buka maka set-set tutup dari topologi tersebut adalah set-set terhingga dari dengan . Jadi bila
terhingga, penutup dari ̅ adalah sendiri karena tutup. Sebaliknya bila tak hingga maka adalah superset tutup dari , jadi ̅
ℎ .
Selanjutnya untuk suatu subset dari ruang kofinit maka: A bila A terhingga
̅ = bila A tak hingga
Penutup dari suatu set dapat dinyatakan dengan pengertian dari titik-titik kumpul dari set tersebut sebagai berikut dengan teorema:
Bila A subset dari ruang topologi X maka penutup dari A adalah gabungan dari A dengan ′ yaitu ̅ =
′ Suatu titik
disebut titik penutup dari bila dan hanya bila p termuat dalam penutup
A yaitu ̅ . Dari teorema diatas diperoleh bahwa
adalah titik penutup dari bila
dan hanya bila atau p titik kumpul dari A.
Subset A dari ruang topologi X disebut
padat dense
dalam bila B termasuk dalam
penutup
A yaitu
̅ . Khususnya, A adalah padat dalam X atau subset padat dari X bila dan hanya
bila
̅ = Perhatikan set semua bilangan rasional Q. Didalam topologi biasa untuk R, setiap bilangan real
adalah titik kumpul dari Q. Jadi penutup dari Q adalah set semua bilangan real R yaitu ̅ = . Dengan kata lain, dalam topologi biasa, set semua bilangan rasional Q padat dalam R.
Operator penutup yang menghubungkan tiap-tiap subset A dari X dengan penutup ̅ yang
memenuhi 4 sifat seperti ditunjukkan pada proporsisi berikut, yang disebut Aksioma Penutup Kuratowski dengan dalil proposisi:
a. ∅̅ = ∅,
b. ̅
c. ̅̅̅̅̅̅̅
= ̅ ̅ d.
− −
= ̅
Contoh: 1.
Kelas � = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }} didefinisika pada = { , , , , }. a.
Tentukan : {̅} , { , ̅̅̅̅} , { ,
̅̅̅̅̅} b.
Apakah { ,
̅̅̅̅} dan { , ̅̅̅̅̅} merupakan subset padat dari X? Jelaskan
2. = { , , , , } dan = { , ∅, { , }, { , , }, { , , }, { }, { , }, { , , , }}
Tentukan closure dari: a.
{ } b.
{ , } c.
{ , , } d.
{ , , }
3.5. INTERIOR, EKSTERIOR BOUNDARY
