Ruang topologi X adalah terhubung bila dan hanya bila fungsi kontinu dari X ke dalam = { , } hanyalah fungsi-fungsi konstan fx = 0 atau fx = 1.
8.4. KOMPONEN
Komponen E dari ruang topologi X adalah subset terhubung maksimal dari X sehingga E terhubung dan E bukan subset murni dari suatu subset terhubung dari X. Jelaslah E tidak kosong.
Teorema: 1.
Komponen-komponen dari ruang topologi X membentuk suatu partisi dari X sehingga komponen-komponen tersebut saling lepas dan gabungannya adalah X. Setiap subset
terhubung dari X termasuk ke dalam sebarang komponen. 2.
Produk perkalian dari ruang terhubung adalah terhubung. Contoh:
1. Bila X terhubung maka X mempunyai tepat satu komponen yaitu X itu sendiri.
2. Perhatikan topologi pada = { , , , , }
dengan � = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }}
Komponen dari X adalah { }
{ , , , }. Subset terhubung dari X , seperti
{ , , } adalah satu subset dari komponen-komponen.
8.5. RUANG TERHUBUNG LOKAL
Ruang topologi X disebut terhubung lokal di bila dan hanya bila setiap set buka yang
memuat p termasuk dalam set buka terhubung yang memuat p yaitu bila set-set terhubung buka yang memuat p membentuk basis lokal di p. X disebut terhubung lokal bila X terhubung lokal di
setiap titik atau bila subset-subset terhubung dari X membentuk basis untuk X. Contoh:
1. Setiap ruang diskrit X adalah terhubung lokal karena bila
{ } adalah set terhubung buka yang memuat p, yang termasuk ke dalam setiap set buka yang memuat p.
Catatan:
X tak terhubung bila X memuat lebih dari satu titik. 2.
Perhatikan subset-subet pada bidang R
2
berikut = { , :
} = { , : =
, }
adalah set-set terhubung, tetapi bukan terhubung lokal di
= , .
BAB IX KEKOMPAKAN COMPACTNESS
9.1. SAMPUL COVER Misalkan
� = { } adalah kelas dari subset-subset dari X sedemikian hingga untuk
sebarang . Ingat kembali bahwa � disebut sampul cover dari A dan � disebut sampul
buka bila tiap
�
adalah buka. Selanjutnya, bila suatu kelas bagian terhingga dari � merupakan
sampul juga dari A yaitu ada , … ,
� sedemikian hingga …
, maka
� disebut tereduksi ke sampul terhingga atau memuat sampul bagian terhingga. Teorema Heine-Borel:
Setiap sampul buka dari interval tutup terbatas A=[a,b] adalah tereduksi ke sampul terhingga. Contoh:
Misal kelas � = { :
}, B set bilangan-bilangan bulat, Dp: daerah buka pada bidang R
2
dengan jari-jari 1 dan pusatnya p = m,n, dimana ,
maka � adalah sampul dari R
2
yaitu setiap titik dalam R
2
termasuk ke paling sedikit anggota dari � tetapi kelas dari daerah-daerah
buka � = { :
}, dengan D
p
mempunyai pusat p dan jari-jari ½ bukan sampul dari R
2
. Diambil contoh, titik
, tidak termasuk ke suatu anggota dari
�.
9.2. SET KOMPAK
Definisi: Subset A dari ruang topologi X disebut kompak bila setiap sampul cover buka dari A
tereduksi ke sampul terhingga. Dengan kata lain, bila A kompak dan
dengan Gi set-set buka maka dapat terpilih terhingga banyaknya set-set buka misalkan
, … , , ℎ
… .
Teorema: 1.
Bayangan-bayangan kontinu dari set-set kompak adalah kompak. 2.
Bila A subset dari ruang topologi , � maka A adalah kompak terhadap � bila dan hanya bila A kompak terhadap toplogi relatif
� pada A. Contoh:
1. Dengan teorema Heine-Borel, setiap interval tutup terhingga [a,b] pada garis real R adalah
kompak. 2.
Misal A subset terhingga dari ruang topologi X dengan = { , , … . , } maka A adalah
kompak karena hal ini dapat ditunjukkan bahwa bila � = {
�
} sampul buka dari A maka tiap- tiap titik dalam A termasuk ke dalam salah satu anggota dari
�, yaitu , … ,
sehingga …
. 3.
Peta bayangan kontinu dari set kompak adalah kompak, yaitu bila : → kontinu dan A subset kompak dari X maka f[A] adalah subset kompak dari Y, dapat ditujukkan dengan
dimisalkan � = { } adalah sampul buka dari f[A], yaitu [ ]
maka:
−
[ [ ]]
−
[ ] =
−
[ ].
Jika ℋ = {
−
[ ]} adalah sampul dari A karena f kontinu dan tap-tiap Gi adalah set buka juga tiap-tiap f
-1
[Gi] adalah buka. Dengan kata lain, ℋ adalah sampul buka dari A tetapi A
adalah kompak dan ℋ tereduksi ke sampul terhingga yaiu
−
[ ] …
−
[ ]
dan ini bersesuaian dengan [ ]
−
[ ] …
−
[ ]
… sehingga f[A] adalah kompak.
9.3. SUBSET DARI RUANG KOMPAK
