Suatu subset dari ruang topologi disebut padat tidak dimana-mana nowhere dense di dalam jika interior dari penutup adalah kosong, yaitu
̅ = ∅ . Misal = { , , , … } subset dari maka mempunyai tepat satu titik kumpul yaitu 0, sehingga ̅
= { , , , , } dan ̅ padat tidak dimana-mana dalam . Misal A memuat semua bilangan rasional antara 0
dan 1 yaitu = { :
, } maka int A = ∅ tetapi tidak padat tidak dimana- mana dalam R karena penutup A adalah
[ , ] dan ̅ =
[ , ] = , ≠ ∅ .
3.6. LINGKUNGAN SISTEM LINGKUNGAN
Misal adalah titik dalam ruang topologi . Suatu subset dari disebut lingkungan dari
jika dan hanya jika
�
adalah suatu superset dari set buka yang memuat
�
yaitu:
� �
dengan set buka
. Dengan kata lain relasi
“N adalah lingkungan dari p” adalah invers dari “p adalah titik interior N”. Kelas dari semua lingkungan dari
disebut sistem lingkungan neighborhood system dari . Untuk suatu sistem lingkungan
dari suatu titik
ada 4 sifat yang dinyatakan dalam proporsi berikut yang disebut aksioma lingkungan sebagai berikut:
Proporsisi: a.
≠ ∅ dan p termasuk ke dalam tiap anggota b.
Irisan dari dua anggota termasuk c.
Setiap superset dari anggota termasuk d.
Tiap anggota adalah superset dari anggota
dengan G adalah lingkungan dari tiap-tiap titik dari G yaitu
untuk tiap .
Contoh: 1.
= { , , , , } = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }, { , , }} .
Tentukan: a.
b. c.
d. 2.
= { , , , , } dan = { , ∅, [ , , , ], { , , }, { , , }, { , }, { }} . Tentukan:
a.
�
b.
3.7 TOPOLOGI KORSER DAN TOPOLOGI FAINER
Misal
� dan � adalah topologi pada set tidak kosong X dan tiap-tiap set buka anggota � subset dari X adalah anggota
� subset dari X. Dengan demikian, bahwa � adalah kelas bagian dari
� yaitu � � , sehingga dikatakan bahwa � adalah lebih kasar Coarser atau lebih kecil
smaller atau lebih lemah weaker terhadap � atau � lebih halus finer atau lebih besar
larger terhadap � . Perhatikan bahwa = {� } koleksi dari topologi-topologi adalah terurut
parsial dan dapat ditulis � ≾ �
� � dan dikatakan bahwa kedua topologi pada X
tidak dapat dibandingkan bila topologi yang satu bukan korser terhadap yang lainnya. Contoh:
1. Perhatikan topologi diskrit D, topologi indiskrit Y dan suatu topologi � pada set X, maka �
adalah korser terhadap D, dan � adalah finer terhadap Y. Jadi ≲ � ≲ .
2. Topologi = { , , , , }
= { , ∅, { }, { , }}, = { , ∅, { }, { , }, { , , }}
= { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }} .
Bandingkan topologi-topologi ,
3.8 RUANG BAGIAN, TOPOLOGI RELATIF
