BAB III RUANG TOPOLOGI TOPOLOGICAL SPACES
3.1. RUANG TOPOLOGI TOPOLOGICAL SPACES
Misal adalah suatu set tidak kosong. Suatu kelas � yang anggotanya subset-subset dari
disebut
topologi pada X
, bila dan hanya bila � memenuhi ketiga aksioma berikut:
1. ∅ termasuk dalam �
2. Gabungan dari set-set anggota dari � adalah anggota �
3. Irisan dari dua set anggota � adalah anggota �
Anggota –anggota dari � disebut set – set buka dari �, dan bersama � yaitu , �
disebut ruang topologi
. Contoh:
1. Misal adalah kelas dari semua set buka dari bilangan real maka adalah topologi biasa
usual topologi pada . Demikian juga kelas yang terdiri dari set-set buka pada adalah topologi biasa pada
. 2.
Misalkan = { , , , , }. � , � , �
� masing-masing subset dari
�
. Manakah yang merupakan topologi pada , bila:
� = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }} � = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , }}
� = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , , }} � = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }}
3. Diketahui = { , , }. Himpunan bagian ditentukan sebagai berikut:
= {{ }, { }, { }, ∅} = {{ }, { }, { , }, { , , }}
= {{ }, { }, { , }, { , , }, ∅} = {{ , }, { , }, { , , }, ∅}
= {{ , }, { , }, ∅, { , , }, { }} = {{ }, { }, { , }, ∅, { , , }}
= {{ }, { }, { , }, ∅, { , , }, { , }}
Manakah yang merupakan topologi? Jelaskan 4.
Let = { , , , , }. Determine wheter or not each of the following classes of subsets of is a topology on .
i = { , ∅, { }, { , }, { , }}
ii = { , ∅, { , , }, { , , }, { , , , }}
iii = { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }}
TOPOLOGI DISKRIT, TOPOLOGI INDISKRIT TOPOLOGI KOFINIT
Apabila D adalah kelas dari semua subset dari atau =
�
atau dapat dikatakan D adalah
himpunan kuasa power set
dari maka adalah topologi pada karena memenuhi ketiga aksioma pada topologi sehingga disebut
topologi diskrit
dan , disebut
ruang topologi diskrit
atau secara singkat disebut
ruang diskrit
., sedangkan
himpunan kuasa power set dari X
yaitu himpunan yang anggota-anggotanya adalah semua himpunan bagian dari . Suatu topologi pada harus memuat set
∅ . Kelas = { , ∅} yang hanya memuat ∅ adalah topologi pada X, sehingga = { , ∅} disebut
topologi indiskrit
dan ,
disebut ruang topologi indiskrit
atau
ruang indiskrit.
Apabila , � ruang topologi dan � adalah kelas yang anggotanya semua komplemen dari set-
set buka dari � maka � adalah
topologi kofinit
. Contoh:
1. = { , } ; = { , , }
� adalah suatu kelas himpunan bagian dari X dan � = { , ∅, { }, { }} � adalah suatu kelas subset dari Y dan � = { , ∅, { }, { }, { }, { , }, { , }, { , }}
a. Apakah � dan � merupakan topologi diskrit? Jelaskan alasannya
b. Tentukan ruang diskrit dari � dan �
2. = { } � = { , ∅},
= { , } � = { , ∅, { }, { }}, = { , , } � = { , ∅} .
Apakah � , � , � merupakan topologi indiskrit?
IRISAN, GABUNGAN KOMPLEMEN
adalah topologi pada X maka juga merupakan topologi pada tetapi
belum tentu tak perlu merupakan topologi. Gabungan dari set-set kosong adalah set kosong dan irisan kosong dari subset-subset dari adalah sendiri.
Elemen suatu topologi pada disebut himpunan terbuka. Suatu himpunan bagian dari
yang komplemennya ada di dalam
�
merupakan himpunan yang tertutup atau dapat dikatakan komplemen dari himpunan-himpunan yang terbuka adalah himpunan-himpunan yang
tertutup. Jadi suatu himpunan disebut tertutup jika hanya jika
�
adalah terbuka. Apabila adalah suatu topologi pada maka kelas himpunan bagian yang tertutup dari
mempunyai sifat : a.
∅ adalah himpunan-himpunan yang tertutup b.
Irisan dari sejumlah sebarang himpunan yang tertutup adalah tertutup c.
Gabungan dari setiap dua himpunan yang tertutup adalah tertutup
Contoh: 1.
Dua topologi pada = { , , , , } dengan
= { , ∅, { }, { , }, { , , }, { , , , }} dan = { , ∅, { }{ , }{ , , }{ , , , }} Apakah
merupakan topologi pada X? 2.
= { , , , , } dengan = { , ∅, { }, { }, { , }}, = { , ∅, { }, { }, { , }}
Apakah merupakan topologi?
3. Diberikan = { , ∅, { }, { }, { , }} , = { , ∅, { }, { , }} dan = { , ∅, { }, { , }}
pada = { , , } .
a. Tentukan
dan b.
Apakah merupakan topologi?
c. Apakah
merupakan topologi?
3.2. TITIK KUMPUL ACCUMULATION POINTS
Kategori