FUNGSI-FUNGSI KONTINU KONTINUITAS DAN TOPOLOGI EQUIVALEN

BAB V KONTINUITAS DAN TOPOLOGI EQUIVALEN

5.1. FUNGSI-FUNGSI KONTINU

Misalkan , � dan , � adalah ruang topologi-ruang topologi. Suatu fungsi f dari X ke dalam Y disebut kontinu relative ke � � atau kontinu � − � atau kontinu bila dan hanya bila bayangan invers − [ ] dari tiap � dengan H subset buka dari Y adalah anggota � merupakan subset buka dari X atau bila dan hanya bila � − [ ] � . Ditulis : , � → , � untuk suatu fungsi di dalam topologi. Dengan kata lain , � dan , � merupakan ruang topologi-ruang topologi. Fungsi : → disebut kontinu − jika untuk setiap himpunan terbuka H anggota berlaku − [ ] anggota dari . Proposisi:  Fungsi : → adalah kontinu bila hanya bila invers dari tiap anggota basis � untuk Y adalah subset buka dari X . Teorema: 1. Misal � adalah basis bagian untuk ruang topologi Y maka fungsi : → adalah kontinu bila hanya bila invers tiap-tiap anggota � adalah sub set buka dari . 2. Fungsi : → adalah kontinu bila hanya bila bayangan invers dari tiap subset tutup dari Y adalah tutup dari X . Beberapa dalil yang berkaitan dengan fungsi kontinu: 1. Suatu fungsi : → adalah kontinu jika hanya jika bayangan invers dari setiap set yang terbuka adalah set yang terbuka. 2. Jika suatu fungsi : → adalah konstan yaitu = untuk setiap maka f adalah kontinu. 3. Jika suatu fungsi : → adalah fungsi identitas yaitu = maka f adalah kontinu. 4. Jika suatu fungsi : → dan : → adalah fungsi-fungsi kontinu maka ∶ → adalah juga kontinu. Dalil tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut: 1. Suatu fungsi : → adalah kontinu jika hanya jika bayangan invers dari setiap set yang terbuka adalah set yang terbuka, dengan pembuktian: misalkan : → adalah fungsi kontinyu dan V adalah suatu himpunan bagian terbuka dari R . Akan ditunjukkan bahwa − [ ] adalah juga merupakan himpunan yang terbuka. Ambil − [ ] berarti . Menurut definisi kontinuitas ada suatu himpunan terbuka U p yang mengandung p sehingga [ ] dan − [ [ ] − [ ] maka jelas bahwa untuk setiap − [ ] ada suatu himpunan terbuka U p sedemikian hingga − [ ] . Jadi − [ ] = { ∕ − [ ]} dan − [ ] adalah terbuka. V fU p p P U p f -1 [V] Sebaliknya, misalkan invers dari setiap himpunan yang terbuka adalah terbuka, akan ditunjukkan bahwa f adalah kontinu di setiap titik . Ambil V adalah himpunan terbuka yang mengandung fp yaitu karena [ − [ ]] maka − [ ] adalah himpunan terbuka yang mengandung p. Jadi f adalah kontinu di p . 2. Jika suatu fungsi : → adalah konstan yaitu = untuk setiap maka f adalah kontinu, dengan pembuktian: menurut dalil 1, fungsi f adalah kontinu jika hanya jika dari sebarang himpunan terbuka G yaitu − [ ] adalah juga himpunan yang terbuka karena = untuk setiap maka: − [ ] = ∅, , , untuk setiap himpunan terbuka G. Karena ∅ dan R adalah himpunan yang terbuka maka − [ ] adalah terbuka. 3. Jika suatu fungsi : → adalah fungsi identitas yaitu = maka f adalah kontinu, dengan pembuktian: ambil G adalah himpunan terbuka. Karena fx = x adalah fungsi identitas maka − [ ] = adalah himpunan yang terbuka. Jadi f adalah fungsi yang kontinu. 4. Jika suatu fungsi : → dan : → adalah fungsi-fungsi kontinu maka . ∶ → adalah juga kontinu, dengan pembuktian: harus ditunjukkan bahwa − [ ] dengan G adalah sebarang himpunan terbuka. Karena g adalah kontinu maka − [ ] adalah himpunan terbuka tetapi karena f adalah kontinu maka invers dari − [ ] yaitu − [ − [ ]] adalah juga himpunan terbuka. Dari sifat − = − − maka − [ ] = − − [ ] = − [ − [ ]] adalah suatu himpunan yang terbuka. Jadi : → adalah kontinu. Contoh: 1. Perhatikan ruang diskrit X,D dan ruang topologi Y, � maka tiap fungsi : → ℎ − � kontinu karena bila H sebarang subset buka dari Y , invers − [ ] adalah subset buka dari X dan tiap subset buka dari ruang diskrit adalah buka. 2. Misal : → dengan X dan Y masing-masing ruang topologi dan � adalah basis untuk topologi pada Y. Bila untuk tiap-tiap anggota �, − [ ] adalah subset buka dari X maka f adalah fungsi kontinu karena misalnya H adalah subset buka dari Y maka = � � adalah gabungan dari anggota-anggota dari � tetapi − [ ] = − [ � � ] = � − [ � ] dan tiap- tiap − [ � ] adalah buka menurut hipotesis, jadi − [ ] adalah gabungan dari set-set buka, yang merupakan set buka. Jadi f adalah kontinu. 3. = { , , , } = { , , , } , � = { , ∅, { }, { , }, { , , }} dan � = { , ∅, { }, { }, { , }, { , , }}. Fungsi-fungsi : → : → didefinisikan: f g Apakah fungsi f dan g kontinu di dalam topologi? Jelaskan 4. Misalkan topologi-topologi pada = { , , , } dan = { , , , } pada = { , ∅, { }, { }, { , }, { , , }} dan = { , ∅, { }, { }, { , }, { , , }} Fungsi-fungsi : → dan : → didefinisikan: : { , , , , , , , } dan : { , , , , , , , } Apakah fungsi f dan g kontinu dalam topologi? Jelaskan

5.2. FUNGSI KONTINU DAN KETERTUTUPAN SEBARANG