Persamaan Diferensial Parsial Bahasa Komputasi Teknis

146 BAB 9. DIFERENSIAL NUMERIK a b c d h k grid lines mesh points x 1 x 2 ... x n y 1 y 2 y m ...... Gambar 9.7: Skema grid lines dan mesh points pada aplikasi metode Finite-Difference mesh points . Turunan kedua sebagaimana yang ada pada persamaan 9.33 dapat dinyatakan dalam rumus centered-difference sebagai berikut ∂ 2 u ∂x 2 x i , y j = ux i+1 , y j − 2ux i , y j + ux i−1 , y j h 2 − h 2 12 ∂ 4 u ∂x 4 ξ i , y j 9.36 ∂ 2 u ∂y 2 x i , y j = ux i , y j+1 − 2ux i , y j + ux i , y j−1 k 2 − k 2 12 ∂ 4 u ∂y 4 x i , η j 9.37 Metode Finite-Difference biasanya mengabaikan suku yang terakhir, sehingga cukup dinyatakan sebagai ∂ 2 u ∂x 2 x i , y j = ux i+1 , y j − 2ux i , y j + ux i−1 , y j h 2 9.38 ∂ 2 u ∂y 2 x i , y j = ux i , y j+1 − 2ux i , y j + ux i , y j−1 k 2 9.39 Pengabaian suku terakhir otomatis menimbulkan error yang dinamakan truncation error. Ja- di, ketika suatu persamaan diferensial diolah secara numerik dengan metode Finite-Difference, maka solusinya pasti meleset alias keliru sedikit, dikarenakan adanya truncation error terse- but. Akan tetapi, nilai error tersebut dapat ditolerir hingga batas-batas tertentu yang uraiannya akan dikupas pada bagian akhir bab ini. Ok. Mari kita lanjutkan Sekarang persamaan 9.38 dan 9.39 disubstitusi ke persamaan 9.33, hasilnya adalah ux i+1 , y j − 2ux i , y j + ux i−1 , y j h 2 + ux i , y j+1 − 2ux i , y j + ux i , y j−1 k 2 = f x i , y j 9.40 9.5. PDP ELIPTIK 147 dimana i = 1, 2, ..., n − 1 dan j = 1, 2, ..., m − 1 dengan syarat batas sebagai berikut ux , y j = gx , y j ux n , y j = gx n , y j ux i , y = gx i , y ux i , y m = gx i , y m Pengertian syarat batas disini adalah bagian tepi atau bagian pinggir dari susunan mesh points. Pada metode Finite-Difference, persamaan 9.40 dinyatakan dalam notasi w, sebagai berikut w i+1,j − 2w i,j + w i−1,j h 2 + w i,j+1 − 2w i,j + w i,j−1 k 2 = f x i , y j w i+1,j − 2w i,j + w i−1,j + h 2 k 2 w i,j+1 − 2w i,j + w i,j−1 = h 2 f x i , y j w i+1,j − 2w i,j + w i−1,j + h 2 k 2 w i,j+1 − 2 h 2 k 2 w i,j + h 2 k 2 w i,j−1 = h 2 f x i , y j −2[1 + h 2 k 2 ]w i,j + w i+1,j + w i−1,j + h 2 k 2 w i,j+1 + w i,j−1 = h 2 f x i , y j 2[1 + h 2 k 2 ]w i,j − w i+1,j + w i−1,j − h 2 k 2 w i,j+1 + w i,j−1 = −h 2 f x i , y j 9.41 dimana i = 1, 2, ..., n − 1 dan j = 1, 2, ..., m − 1, dengan syarat batas sebagai berikut w 0,j = gx , y j w n,j = gx n , y j j = 0, 1, ..., m − 1; w i,0 = gx i , y w i,m = gx i , y m i = 1, 2, ..., n − 1. Persamaan 9.41 adalah rumusan akhir metode Finite-Difference untuk PDP Eliptik. 9.5.1 Contoh pertama Misalnya kita diminta mensimulasikan distribusi panas pada lempengan logam berukuran 0, 5 m x 0, 5 m. Temperatur pada 2 sisi tepi lempengan logam dijaga pada 0 ◦ C, sementara pada 2 sisi tepi lempengan logam yang lain, temperaturnya diatur meningkat secara linear dari 0 ◦ C hingga 100 ◦ C. Problem ini memenuhi PDP Eliptik: ∂ 2 u ∂x 2 x, y + ∂ 2 u ∂y 2 x, y = 0; 0 x 0, 5, 0 y 0, 5 dengan syarat-syarat batas u0, y = 0, ux, 0 = 0, ux, 0.5 = 200x, u0.5, y = 200y Jika n = m = 4 sedangkan ukuran lempeng logam adalah 0, 5 m x 0, 5 m, maka h = 0, 5 4 = 0, 125 k = 0, 5 4 = 0, 125 Grid lines berikut mesh points dibuat berdasarkan nilai h dan k tersebut lihat Gambar 9.8. Langkah berikutnya adalah menyusun persamaan Finite-Difference, dimulai dari persamaan